Beweise: Folgen (an)n und (bn)n mit endlich vielen versch. Folgengliedern ==> gleicher Grenzwert, falls ex.

Question

Seien (an)n und (bn)n Folgen, die sich nur in endlich vielen Folgengliedern unterscheiden. Dann konvergiert die Folge (an)n genau dann, wenn (bn)n konvergiert. Insbesondere stimmen im Falle einer Konvergenz die Grenzwerte überein.

was muss ich hier machen, um es zu beweisen.

Answer 1

von endlich vielen ist einer der letzte.  Er habe den Index k. Also stimmen für


n>k die Folgenglieder überein.Wenn nun eps>0 ist, und es gibt für die eine


Folge (etwa a_n )  ein N, so dann für

alle n > N gilt    | a_n - a | < eps  .    Dann wähle M = max ( N , k ) und für 

alle n > M gilt  immer noch     | a_n - a | < eps  .    Aber dann auch entsprechend für

die andere Folge, da ja alle Folgenglieder gleich sind.

Answer 2

Wenn sich (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ nur in endlich vielen Folgengliedern unterscheiden, dann gibt es ein größtes k, sodass für n>k alle Folgenglieder gleich sind. Sei (a_n)_n∈ℕ konvergent, dann gibt es eine Umgebung des Grenzwertes, in der fast alle Folgenglieder von (a_n)_n∈ℕ und von (b_n)_n∈ℕ liegen. Also ist der Grenzwert von   (a_n)_n∈ℕ auch der Grenzwert von (b_n)_n∈ℕ.