Beweisen oder widerlegen Sie, ob die rekursiv definierten Folge (an)n konvergent sind. Bsp. a) an+1= 1/3(an+8) mit a1=1

Question

Beweisen oder widerlegen sie, ob die rekursiv definierten Folge (an)n konvergent sind. Falls ja bestimmen sie den Grenzwert.

a) an+1= 1/3(an+8) mit a1=1

b) an+1=1/2(an+1/an) mit a1>0

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen.

Comments

(1)  \(a_n<4\Rightarrow a_{n+1}<\frac13\cdot(4+8)=4\)
(2)  \(a_{n+1}-a_n=\frac23(4-a_n)>0\).
(3)  Beschränkt & monoton heißt konvergent.

Answer 1

Vielleicht hilft es dir, wenn du weißt: Beide Folgen sind konvergent. a) hat den Grenwert 4 und b) hat den Grenzwert 1.

Comments

Wie kommst du genau darauf?

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Du bist zwar nicht der Fragesteller, aber meinetwegen:

zu a) Angenommen es gäbe einen Grenzwert x, dann müsste gelten x=1/3(x+8) oder x=4.

Zu b) Die Rekursionsformel für das Heronverfahren zur Näherung an √b lautet a_n+1=1/2(a_n+b/a_n). Diese Formel ist hier für den Fall b=1 gegeben.