Monotonie einer rekursiv definierten Folge zeigen. an+1:=1/(4(1-an)) , n≥1, a1=0

Question

Ich verzweifle langsam an dem Thema...ich habe die Folge

a_n+1:=1/(4(1-an))   n≥1   a₁=0

Ich habe herausgefunden, dass 1/2 obere Schranke ist und möchte jetzt zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist. 

Also:

a_n+1 ≥ a_n          umgestellt zu a_n+1 -an≥0

eingesetzt:

Alles eingesetzt und auf einen Nenner gebracht erhalte ich 

(1-4an+4an² -an)/(4-4an+1)≥0

Jetzt müsste das ganze ja auch ≥0 sein, wenn ich 1/2 einsetze, doch das ist es nicht...

Answer 1

Du möchtest zeigen dass

1/(4·(1 - an)) > an

Fall an < 1

1 > an·4·(1 - an)

1 > 4·an - 4·an^2

4·an^2 - 4·an + 1 > 0 --> an ≠ 1/2

Die Folge ist also für alle a ≠ 1/2 streng monoton wachsend. Hast du schon gezeigt, dass an nie über 1/2 liegen kann ?

1/(4·(1 - an)) < 1/2 --> an < 1/2

Solange an < 1/2 ist ist also auch an+1 < 1/2. Damit ist das gezeigt.

Comments

Danke:) das 1/2 eine obere Schranke ist habe ich durch vollst. Induktion bewiesen...

Ahh jetzt verstehe ich glaube...Wenn ich für an 1/2 einsetzen würde ich für an+1 über die Schranke drüber kommen was ja nicht geht. Also müsste ich begründen, dass 4an^2-5an+1 für an≤1/4 immer ≥0 ist. Da die Ungleichung mit 1/4 noch erfüllt wäre.