Seien (an)n∈ℕ, (bn)n∈ℕ Folgen in ℝ. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1) Falls lim inf (an) > 0 und lim inf (bn) > 0, so gilt:
lim sup (an*bn) ≤ lim sup (an) * lim sup (bn)
2) Zeigen Sie per Beispiel, dass die Folgerung nicht gilt, wenn
lim inf (an) ≤ 0 und lim inf (bn) ≤ 0.
3) Geben Sie ein Beispiel von Folgen mit:
lim inf (an) > 0, lim inf (bn) > 0 und lim sup (an*bn) < lim sup (an) lim sup (bn)
Zu 1)... dass, wenn der Limes Inferior > 0 ist auch der Limes Superior > 0 sein muss, ist nach Definition klar. Auch, dass somit das Produkt der größten Häufungspunkte ≥ dem größten Häufungspunkt des Produkts der Folgen ist, leuchtet mir (denke ich) ein. Aber wie gehe ich jetzt mathematisch an den Beweis ran?
Zu 2): Ist einer der größten Häufungspunkte negativ und der andere positiv, so geht die Ungleichung nicht auf, falls lim sup (an*bn) > 0. Aber ein konkretes Beispiel fällt mir dazu nicht ein.
