Integration durch Substitution beispielhafte Vorgehensweise

Question

Hallo,

es geht um Integration durch Substitution. Ich kenne leider nicht alle benötigten Regeln.

A) -G * m1 * mr \( \int\limits_{0}^{R/2} \) \( \frac{x}{(R^{2} + x^{2})^{\frac{3}{2}}} \) * dx

wird vereinfacht zu

B)

\( \frac{-G * m1 * mr}{2} \) \( \int\limits_{0}^{R/2} \) \( \frac{dt}{(R^{2} + t)^{\frac{3}{2}}} \)

Es gilt dabei \( x^{2} \) = t und 2xdx = dt

Könnte mir jemand die schrittweise Vorgehensweise erklären?

Woher kommt die 2 im Nenner? Wie kommt 2xdx = dt zustande?

Ich bedanke mich im Voraus!

Answer 1

Es gilt dabei \( x^{2} = t\)

\((1)\qquad t = x^2\)

Das \(t\) wird als Funktion von \(x\) aufgefasst:

        \(t(x) = x^2\).

Die Funktion wird abgeleitet:

        \(t'(x) = 2x\).

Eine andere Notation für die Ableitung von \(t\) nach \(x\) ist \(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\).

        \(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{dx}} = 2x\)

\(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\) sieht aus wie ein Bruch, ist aber keiner. Trotzdem darf \(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\) manchmal wie ein Bruch behandelt werden.

\(\begin{aligned}&&\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} &= 2x&&|\cdot\mathrm{d}x\\&&\mathrm{d}t &= 2x\,\mathrm{d}x&&|:2x\\&(2)&\frac{1}{2x}\mathrm{d}t&=\mathrm{d}x&&\end{aligned}\)

Jetzt ersetzt man in \( \int\limits_{0}^{R/2} \frac{x}{(R^{2} + x^{2})^{\frac{3}{2}}} \mathrm{d}x\)  das \(x^2\) durch \(t\) (wegen \((1)\)) und das \(\mathrm{d}x\) durch \(\frac{1}{2x}\mathrm{d}t\) (wegen \((2)\)). Dann bekommt man

        \(\int\limits_{0}^{R/2} \frac{x}{(R^{2} + t)^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2x}\mathrm{d}t\)

Das \(x\) wird weggekürzt und die \(\frac{1}{2}\) wandern mittels Faktorregel vor das Integral.

Comments

Die Integrationsgrenzen müssen noch angepasst werden.

Wenn über \(x\) von \(0\) bis \(\frac{R}{2}\) integriert wird und \(t(x) = x^2\) ist, dann muss über \(t\) von

        \(t(0) = 0^2 = 0\)

bis

        \(t\left(\frac{R}{2}\right) = \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{4}\)

integriert werden.

Answer 2

Aloha :)

Die angegebene Substitution ist ungeschickt gewählt, es ist effizienter, direkt die ganze Klammer im Nenner zu substituieren...

Zur Bestimmung des Integrals$$I=\int\limits_0^{R/2}\frac{x}{(R^2+x^2)^{3/2}}\,dx$$kannst du folgende Substitution durchführen:$$u(x)\coloneqq R^2+x^2\quad\implies\quad\frac{du}{dx}=2x\;\text{ bzw. }\;dx=\frac{1}{2x}\,du$$Die Integrationsgrenzen musst du ebenfalls anpassen:$$u(0)=R^2\quad;\quad u(R/2)=R^2+\frac{R^2}{4}=\frac54R^2$$Das bauen wir in das Integral ein:$$I=\int\limits_{R^2}^{\frac54R^2}\frac{x}{u^{3/2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2x}\,du}_{=dx}=\int\limits_{R^2}^{\frac54R^2}\frac12\,u^{-3/2}\,du=\left[\frac12\cdot\frac{u^{-1/2}}{-\frac12}\right]_{R^2}^{\frac54R^2}=\left[-\frac{1}{\sqrt u}\right]_{R^2}^{\frac54R^2}$$$$\phantom{I}=-\frac{1}{\sqrt{\frac54R^2}}+\frac{1}{\sqrt{R^2}}=\frac1R\left(1-\frac{1}{\sqrt{\frac54}}\right)=\frac1R\left(1-\frac{2}{\sqrt5}\right)$$