Partielle Differentialgleichung und Charakteristiken

Question

Guten Abend.

Ich soll diese partielle DGL lösen:
$$δ_xu(x,y)-3δ_yu(x,y)+ \frac{2}{3}u(x,y)=0$$

mit $$u(0,y)=cos(y)$$

und $$0<x, \text{     } y\in \mathbb{R}$$

Wie genau gehe ich hier vor? Ich habe leider noch keinen Ansatz, muss die Aufgabe aber dringend bearbeiten...

Zusätzlich sollen noch die Charakteristiken gezeichnet werden...

Vielen Dank im Voraus!
Gruß Daniel

Answer 1

Die charakteristischen Gleichungen lauten

$$ (1) \quad x'(s) = 1  \quad x(0) = x_0 = 0 $$ $$ (2) \quad y'(s) = -3  \quad y(0) = y_0 $$ $$ (3) \quad w'(s) = -\frac{2}{3}w \quad w(0) = \cos(y_0) $$

Aus (1) folgt \( x(s) = s \)

Aus (2) folgt \( y(s) = -3s + y_0 \)

Aus (3) folgt \( w(s) = \cos(y_0) e^{-\frac{2}{3}s} \)

Damit ergibt sich für \( w(s) \)

$$ w(x,y) = \cos(y+3x)e^{-\frac{2}{3}x } $$