bei solchen Aufgaben machst du immer erst einen Separationsansatz.
Eigentlich ist das die Wärmeleitungsgleichung, aber naja ist ja gegeben XD
$$u(t,x)=f(x)g(t)$$
Einsetzen in die DGL liefert
$$f(x)g'(t)=f''(x)g(t)\\ \frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{g(t)}$$
Die Seiten der Gleichung hängen nur von jeweils einer Variablen. Wenn du links t variierst, ändert sich rechts der Wert nicht. Also sind beide Seiten konstant.
$$\frac{f''(x)}{f(x)}=-\lambda\\ f''(x)=-\lambda f(x)\\$$
$$\frac{f''(x)}{f(x)}=-\lambda\\ f''(x)+\lambda f(x)=0\\$$
Eine Lösung gibt es nur für Lambda >=0, da sonst keine Schwingung entsteht.
Daher kannst du $$\lambda:=k^2$$ setzen und die Lösung der DGL lautet dann
$$f(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)$$
Aufgrund der Randbedingung u(0,t)=0 ist B=0.
Aufgrund der Randbedingung u(pi,t)=0 gilt
Asin(kpi)=0
--->k∈ℕ
$$f(x)=Asin(kx)$$
Die andere DGL ergibt
$$g'(t)=-\lambda g(t)\\ g(t)=Ce^{-\lambda t}=Ce^{-k^2 t}$$
Damit lautet eine homogene Lösung
$$u_k(x,t)=sin(kx)e^{-k^2t}$$
Die inhomogene Lösung kannst du mit Fourierreihen erhalten.
Da geht dann die Anfangsauslenkung ein.
