Umformung Summe mit Binomialkoeffizient

Question

Aufgabe:

$$\text{Ist die Umformung }\quad log(\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}})=log(2^n)=nlog(2)\quad korrekt?$$

Answer 1

Aloha :)

Ja, stimmt so, denn wegen des Binomischen Lehrsatzes gilt ja:$$\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\cdot\pink{1}^{n-i}\cdot\green{1}^i=(\pink1+\green1)^n=2^n$$

Dann ist nach den Logarithmengesetzen weiter:$$\log(2^n)=n\cdot\log(2)$$

Answer 2

Ja, weil \(\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}i =2^n\) und wegen \(\log(a^b)=b\log a\).