Umformung Term mit Logarithmus

Question

Aufgabe:

Umformung äquivalenter logarithmischer Terme

Problem/Ansatz:

Hey, ich bin aktuell bei einer Aufgabe, in der ich einen äquivalenten logarithmischen Term finden und beweisen soll. Der Beweis bereitet mir jedoch aktuell Schwierigkeiten.

log_a (n^{log_b a}) = log_b n

Mein erster Gedanke war es die Potenzregel anzuwenden und den Exponenten von der linken Seite runterzukriegen:

=> log_b a * log_a (n) = log_b n

Nun hatte ich überlegt die Basiswechsel-Regel anzuwenden, worauf ich jedoch keinen Weg fand so auf ein richtiges Endergebnis zu kommen. Würde mich sehr über Hilfe freuen

Answer 1

$$\log_{a}{(n^{\log_{b}{a}})} = \log_{b}{(a)} \cdot \log_{a}{(n)} = \log_{b}{(a^{\log_{a}{n}})} = \log_{b}{n}$$

Answer 2

Du kannst in

log_b (a) * log_a (n) beide Faktoren vertauschen zu

log_a (n) * log_b (a) und daraus log_b (a ^{log a (n)} ) machen.