Beweisen Sie: Falls M und N endliche Mengen sind gilt | M x N | = |M| · |N|

Question

die Aufgabe: Beweisen Sie: Falls M und N endliche Mengen sind, dann ist

| M χ N |  =  |M| · |N|    .

Reicht es wenn ich das Kreuzprodukt darstelle mit 3 zufälligen Elementen jeweils pro Menge?

Würde dies als Beweis reichen?

Wie kann ich dies sonst Beweisen?

mfg

Answer 1

Nein. Aber du kannst zeigen das es für 1 Element in jeder Menge gilt.
Und dann unter der Bedingung das es für m und n Elemte gilt auch für m und n + 1 Elemente gilt. Das wäre dann der Beweis über vollständige Indunktion.

Comments

Müsste man nicht im Induktionsanfang zeigen, dass es für |M|=m, |N|=1 gilt? (Also nicht nur ein Element in jeder Menge). Und dann kann man im Induktionsschritt zeigen, dass die Aussage auch für |M|=m, |N|=n+1 gilt, falls sie für |M|=m, |N|=n gilt.

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Ich denke wenn ich gezeigt habe das es für m und n + 1 gilt unter der Voraussetzung das es für m und n gilt habe ich damit auch gezeigt dass es auch für m + 1 und n gilt unter der Voraussetzung das es für m und n gilt.

Damit würde ich dann das Kommutativgesetz voraussetzen. Wenn man das nicht voraussetzen möchte oder darf dann kann man auch so rechnen wie du.

Answer 2

Dies würde als Beweis in keiner Weise ausreichen. Mir ist schleierhaft wie das Kreuzprodukt durch 3 Elemente dargestellt werden kann und wofüt das gut sein soll. Ein Bewieis wäre z.B.: o.E. ist M=(1,2,3,...,m) und N={1,2,3,...n}. Die Abb. $$f: M\times N \to \{1,2,\ldots , mn\} ,\quad (a,b) \mapsto a +(b-1)m$$ (das ist die Abzählung (1,1),(2,1),....,(m,1),(1,2),....,(m,n) ) ist eine Bijektion. Also gilt: $$|M \times N|=mn=|M|\cdot |N|$$

Comments

Ich versteh das irgendwie nicht...wie fängt man bei einer "Beweisführung" an...??


wie kommt ihr auf eure Formeln....bin ganz am Anfang der Mengenlehre....

Das kann man doch bestimmt in einzelnen Schritten darstellen, so dass ich es versteh?


mfg

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Vielleicht hilft das: http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt