"-1" - Ergänzungstrick intuitive Erklärung?

Question

ich suche nach einer intuitiven Erklärung, warum der "-1" - Ergänzungstrick zum Berechnen des Kerns einer Matrix funktioniert.
Ich bin bisher so weit:

Die Umformung bis zur "-1" - Ergänzung gleicht der zum Bestimmen der inversen Matrix. Dabei muss ich versuchen die Matrix auf die Einheitsmatrix zu bekommen und die selben Umformungen an einer anderen Einheitsmatrix ausführen. Bei einer nicht-invertierbaren Matrix ist nicht nur die Null im Kern. Das zeigt sich bei der Umformung (beim Ergänzungstrick) so, dass ich eventuell zwar "in die Nähe" der Einheitsmatrix komme, es jedoch nicht ganz schaffe und am Ende bspw. die letzte Spalte nicht der "richtige" Einheitsvektor ist und ich das auch nie so hinbekommen werde. Sollte der Kern mehr als eine Dimension umfassen, zeigt sich das auch noch in weiteren Spalten.
Nun fehlt der letzte Teil: Warum die Ergänzung mit ausgerechnet der "-1", damit es funktioniert?

Comments

Kannst Du bitte noch erklären, was der „-1 Ergänzungstrick“ ist. Ich für meinen Teil habe davon noch nie gehört und Google liefert auch keine befriedigende Erklärung.

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siehe hier: https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm2etechphys2010s/media/hm2-03-loe.pdf (Aufgabe 2b ist zumindest mal eine Anwendung des Tricks, auf Youtube gibt es auch Erklärungen)

Ich fasse es auch nochmal kurz zusammen:

Ziel: Berechnen vom Kern einer Matrix

1. auf Zeilenstufenform bringen

2. Elemente oberhalb von Diagonalelementen die ungleich 0 sind eliminieren (auf 0 bringen)

3. Die Zeilen so durch Skalare dividieren, dass auf der Diagonalen nur noch Einsen oder Nullen stehen

4. Den Kern ablesen: Spalten mit 0 auf der Diagonale werden zu den Vektoren für den span des Kerns, ersetze jedoch diese 0 jeweils durch eine -1

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Es funktioniert also wohl allgemein zum Lösen für LGS. Mich interessiert es jetzt aber speziell für den Kern.

Answer 1

Dieser Trick ist dafür da etwas leichter die Lösungen eines linearen Gleichungssystem mit Freiheitsgraden zu bestimmen. Du weißt das eine Nullzeile immer ein Freiheitsgrad bedeutet, also das eine Unbekannte frei gewählt werden kann.

Der Kern einer Matrix ist im Grunde doch auch nur die Lösung eines linearen Gleichungssystems, und daher funktioniert das Verfahren auch für den Kern.

Wie gesagt, nimm dir am besten selber mal ein Beispiel und rechne das einfach herkömmlich aus und einmal mit dem "-1"-Ergänzungstrick. Ich denke, dann wird es dir klar. Brauchst du ein gutes Beispiel so findest du es in Aufgabe 2 a) in deiner verlinkten PDF-Datei.

Hier einfach nochmal das genaue Verfahren, damit sich jeder unter dem Verfahren etwas vorstellen kann.

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Hier nochmals eine kurze Erklärung anhand eines Beispiels

Text erkannt:

Matritzenform eines LGS
\( \left(\begin{array}{lllll|l} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \)
Hier sieht man deutlich, dass wir 2 Freiheitsgrade durch 2 nicht vorhandene Nullzeilen haben. Die Freiheitsgrade sind die Variablen, bei denen auf der Hauptdiagonalen die 1 fehlt.
Von Hand würden wir das Gleichungssystem jetzt wie folgt lösen:
\( e=2 \)
\( c+4 \cdot d=1--> \) wir setzen \( d=r \) als Freiheitsgrad und lösen dann in Abhängigkeit von \( r \).
\( \underline{c}+4 \cdot r=1->c=1-4 \cdot r \)
\( a+b+2 \cdot d=3 \)..> wir setzen auch \( b=s \) als Freiheitsgrad und lösen dann auch in Abhängigkeit von \( r \) und \( s \).
\( \underline{a}+s+2 \cdot r=3-.>a=3 \cdot 2 \cdot r-s \)
Schauen wir uns die Lösung in Vektorform an.
\( \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3-2 r-s \\ s \\ 1-4 r \\ r \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Schaut man sich jetzt die Matritzenform des Gleichungssystems nochmals an, erkennt man, dass man die 3 Vektoren dort ohne weiteres ablesen könnte. Wir ergänzen dazu mal geschickt zwei Zeilen mit einer "-1".
\( \left(\begin{array}{lllll|l} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \)
Jetzt kann man den Stützvektor rechts, und das "-1"-fache der Spannvektoren in den Spalten mit der ergänzten "-1" ablesen.