Eigenvektoren einer 3x3 Matrix mit dem "-1 - Ergänzungstrick"

Question

Sei folgende Matrix gegeben:

       4  1  -3
A=  0  3    0     
      3  3   -6

Das char. Polynom lautet dann χ(A)= ( λ-3)² ( λ+5)

Zum Bestimmen der Eigenvektoren für λ = 3 mit dem "-1 - Ergänzungstrick" müssten die Eigenvektoren  (1, -1, 0) und

(0, 3, 1) rauskommen (Laut Musterlösung). Auf den Vektor (1, -1, 0) komme ich auch, da unsere Matrix ja wie folgt aussieht:

      1  1  -3
A=  0  0    0     
      3  3  -9

wenn man jetzt die Zeilenstufenform anwendet bekommt man:

      1  1  -3
A=  0  0    0     
      0  0    0

Jetzt kann man die "-1" auf der Diagonalen einführen und erhält:

      1  1    -3
A=  0  -1    0     
      0  0    -1

Somit ergeben sich doch die beiden Vektoren: (1, -1, 0) und (-3, 0, -1). Was habe ich falsch gemacht? Warum komme ich auf (1, -1, 0) aber nicht auf (-3, 0, -1)??

Danke für die Hilfe. 

Answer 1

Deine Lösung ist auch richtig.

Bei der gegebenen Lösung sind die Eigenvektoren alle

Linearkombinationen von

 (1, -1, 0) und (0, 3, 1)

Mit

-3* (1, -1, 0)  + (-1)*(0, 3, 1)

erhältst du (-3 , 0 , -1 )

Dein 2. Basisvektor ist also auch eine

Linearkombinationen von  (1, -1, 0) und (0, 3, 1).

Du musst einfach nur zwei linear unabhängig aus diesem Raum wählen,

die bilden dann immer eine Basis aus Eigenvektoren.

Wenn du die ersten beiden Zeilen tauschst, geht es

auch mit deinem Trick.