Eigenvektoren einer 3x3 Matrix berechnen

Question

Aufgabe:

\( B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich habe einige Berechnungen gemacht und habe jeweils bei den Eigenwerten 1,2 und 4 die Eigenvektoren ausgerechnet und habe bei 1 = (1 0 0) , bei 2 = (0 1 1) und bei 4 = (0 -1 1) heraus. Jedoch haben andere Schüler andere Werte heraus bekommen, und zwar z.B bei 1 = ( -1 0 0), 2 = ( 0 -1 -1), 4= ( 0 1 -1).

Hat das etwas mit dem Ergänzungstrick zu tun?

Ich bitte um Erklärung. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Du hast alles richtig gemacht. Die Eigenvektoren sind nicht eindeutig. Stell dir vor, \(\vec x\) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\) der Matrix \(A\). Dann gilt die Eigenwert-Gleichung:$$A\cdot \vec x=\lambda\cdot\vec x$$Wenn du nun den Eigenvektor \(\vec x\) mit einer Zahl \(\alpha\) ungleich null multiplizierst, erhältst du einen neuen Vektor \(\vec y=\alpha\vec x\). Für diesen gilt:$$A\cdot\vec y=A\cdot (\alpha\vec x)=\alpha\cdot A\cdot \vec x=\alpha\cdot\lambda\cdot\vec x=\lambda\cdot(\alpha\vec x)=\lambda\cdot\vec y$$Das heißt, der Vektor \(\vec y\) ist auch ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\).

Mit anderen Worten, die Eigenvektoren sind nur bis auf einen konstanden Faktor eindeutig bestimmt. Deine Eigenvektoren unterscheiden sich alle um den Faktor \((-1)\) von denen deiner Kollegen. Deine Eigenvektoren sind genauso richtig ;)

Comments

könnstest du deinen Lösungsweg bitte einmal zeigen?