Dimension für Polynom bestimmen

Question

Aufgabe:Sei V=⟨∑i=0 bis n  a_ixⁱ mit der Eigenschaft a_i∈ ℝ⟩ ⊆ ℝ[x] der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad ≤ n.

Für i= 1,...,n sei f_i(x)=1+xⁱ.

Ich soll die Dimension von Lin({f1,..., fn}) bestimmen

Problem/Ansatz:

Wofür steht hier fi(x), das verstehe ich nicht.

Wäre schön, wenn jemand Ahnung hat und mit helfen könnt.

für Ihre Antowort

Answer 1

Wofür steht hier fi(x), das verstehe ich nicht.

Das sind laut deiner Aufgabe nur Funktionen der Form \(f_i(x)=1+x^i\) mit \(i=1,...,n\) aus dem gegebenen Vektorraum \(V\) aller Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad \(≤ n\).

Beispielsweise hat man für \(n=2\):

\(f_1(x)=1+x,\quad f_2(x)=1+x^2\) und damit die lineare Hülle

\(\operatorname{Lin}(f_1,\ f_2)=\operatorname{Lin}(1+x,\ 1+x^2)=:L_2\). So hat dort ein Polynom \(p\in L_2\) die Darstellung \(p(x)=\alpha_1\cdot (1+x)+\alpha_2\cdot (1+x^2),\quad \alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}\).

Ich soll die Dimension von Lin({f1,..., fn}) bestimmen

Was verstehst du unter dem Begriff Dimension?

Comments

Vielen Dank

Ich verstehe Dimension so, dass

Zum Beispiel für ein Dimension ist ein Grad

Zwei Dimension ist ein Ebene. Drei dimensional ist ein sogenanntes 3D Raum.

Mit freundlichen Grüßen

Malik

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Entschuldigen Sie

ist die Lösung gleich n rau?

MfG

Malik

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Ja, so kann man Dimension interpretieren, aber allgemein bedeutet Dimension nur, die Länge n einer Basis, die einen Vektorraum erzeugt. Man hat also n linear unabhängige Vektoren, die den Vektorraum erzeugen.

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Meinen Sie, dass wenn Kⁿ, dann hat Basis davon bestimmt n Vektor oder?

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Der \(\mathbb{K}^n\) hat Basen der Länge \(n\), also \(n\) linear unabhängige Vektoren, die \(\mathbb{K}^n\) erzeugen.