Aufgabe:
Betrachte die beiden Funktionen
$$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. $$
und
$$ g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. $$
(i) Zeige, dass beide Funktionen überall partiell differenzierbar sind und bestimme die partiellen Ableitungen.
(ii) Untersuche anschließend beide Funktionen im Nullpunkt auf Differenzierbarkeit.
Ansatz:
Also die partiellen Ableitungen habe ich mit Hilfe der ganz normalen Rechenregeln relativ schnell bestimmt. Muss man hier für (i) noch die Definition anwenden? Beim Berechnen empfinde ich das als sehr mühselig. Oder kann ich einfach aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen (die ich berechnet habe, obwohl ich weiß, dass es sie vielleicht nicht gibt) stetig partielle Differenzierbarkeit und damit Differenzierbarkeit folgern? Ich meine in (ii) kann man ja relativ leicht zeigen, dass sie im Nullpunkt differenzierbar sind. Da fällt ja das Meiste weg. ich wäre für einige Anregungen sehr dankbar.
