Verständnisporblem Notation coeffxk{...}

Question

Hallo, ich studiere Informatik und beschäftige mich für ein Seminar mit einem mathematischen Paper (es geht um die Wahrscheinlichkeit wie schnell ein Gerücht innerhalb einer Gruppe von n Menschen von allen n Menschen gekannt ist; Pittel 1987). In dem Paper wird folgendes Lemma verwendet und bewiesen.

Aufgabe:

Lemma: P_nk (u,v) = (k!/n^k) coeff_x^k {(e^x - 1)^v exp[x(n - u - v)]}

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wirklich was die Notation coeff_xk{...} bedeutet? Gäbe es eine alternative Notation?

Außerdem (aber nicht so wichtig): In dem Beweis des Lemmas wird folgendes hergeleitet:

∑_k≥0 x^k P_nk (u,v)n^k / k! = (e^x - 1)^v exp[x(n - u - v)]

Offensichtlich gelangt man durch Umformung zu dem Lemma. Kann mir jemand grob skizzieren / erklären wie man die Summe auf der linken Seite auflöst?

Vielen Dank!

Answer 1

Ich schließe aus dem Kontext, dass \(\text{coeff}_x^k f(x)\) der Koeffizient von \(x^k\) in der Potenzreihenentwicklung von \(f\) um \(x_0=0\) ist. Das ist eine Notation, da muss man nichts begründen.

Es gilt also \(\sum\limits_{k=0}^\infty \text{coeff}_x^k(f(x)) \cdot x^k= f(x)\).

Hier ist \(f(x)=(e^x-1)^v\exp(x(n-u-v))\).

Im Beweis wurde (wie auch immer) hergeleitet

\(\sum\limits_{k=0}^\infty P_{nk}(u,v)\frac{n^k}{k!}\cdot x^k = f(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \text{coeff}_x^k(f(x)) \cdot x^k\).

Wegen der Gleichheit der beiden Reihen müssen die Koeffizienten von \(x^k\) jeweils gleich sein (Stichwort "Koeffizientenvergleich"), also folgt

\(P_{nk}(u,v)\frac{n^k}{k!} = \text{coeff}_x^k(f(x))\),

woraus leicht die Aussage des Lemmas folgt.

Comments

Vielen Dank!