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Aufgabe:


Gegeben ist eine Matrix A und die Abbildung Ax=z
Ist diese Abbildung Injektiv?


Problem/Ansatz:


Gegeben ist eine Matrix A und die Abbildung Ax=z

Ist diese Abbildung Injektiv?


Wenn der Kern von A {0} ist, ist diese Abbildung dann Injektiv? Gilt auch die Umkehrung, dass wenn der Kern ungleich {0} ist, dass die Funktion nicht injektiv ist?

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3 Antworten

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Beste Antwort

Ja, das gilt auch. Es ist eine Äquivalenz:

\(kern A =\{0\} \iff \)zugehörige Abb. injektiv,

also auch (Aussagenlogik)

 \(kern A \neq \{0\} \iff \) zugehörige Abb. nicht injektiv.

Denn wenn es ein \(x\neq 0\) gibt mit \(Ax=0\), haben wegen \(A0=0\) (das gillt immer) zwei verschiedene Vektoren dasselbe Bild, also Verstoß gegen die Injektivität.

Avatar von 9,7 k

Danke!
Gilt auch:

RangA=Anzahl SpaltenA - Injektiv

RangA=Anzahl ZeilenA - Surjektiv

Beides zusammen dann logischerweise Bijektiv

?

Danke

Die Abb. zu einer mxn-Matrix bildet von \(\R^n\) ab nach \(\R^m\).

Daraus folgt: \(rang(A) = m \iff\) Abbildung ist surjektiv

(Das ist Deine zweite Aussage, die stimmt also).

Mit dem Dimensionssatz \(dim\, kern(A) + dim\, bild A = n\) kann man aus \(dim \,bild A=n\) schließen, dass \(dim\, kern A=0\) ist, was injektiv bedeutet. Das ist Deine erste Aussage, stimmt auch.

Insgesamt siehst Du: A ist bijektiv \(\iff\) rang A = Anz. Spalten = Anzahl Zeilen.

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Aloha :)

Die Abbildung \(f\colon V\to W\) sei \(K\)-linear, d.h.:$$(1)\;\;f(a+b)=f(a)+f(b)\quad;\quad\forall a,b\in V$$$$(2)\;\;f(\lambda a)=\lambda f(a)\quad;\quad\forall a\in V\;,\;\forall \lambda\in K$$Bei jeder linearen Abbildung wird die \(0\) auf die \(0\) abgebildet, denn$$f(0)=f(0\cdot a)=0\cdot f(a)=0$$

Wir zeigen: \(\pink{\text{\(f\) injektiv} \Longleftrightarrow\text{Kern\((f)=\{0\}\)}}\)


"\(\implies\)" \(f\) sei injektiv. Wir nehmen an, es gibt ein \(a\in V^{\ne0}\) mit \(f(a)=0\):$$\quad\qquad f(a)=0\,\land\,f(0)=0\implies f(a)=f(0)\stackrel{f\text{ inj.}}{\implies} a=0\quad\setminus\!\!\!\!/\;\;\text{Widerspruch}$$\(\quad\qquad\)Der Kern besteht also nur aus der \(0\).

"\(\;\Longleftarrow\;\)" Annahme: Kern\((f)=\{0\}\), d.h. nur die \(0\in V\) wird auf die \(0\in W\) abgebildet.

\(\quad\qquad\)Seien \(a,b\in V\) mit \(f(a)=f(b)\), dann gilt wegen der Linearität:$$\quad\qquad f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies (a-b)\in\text{Kern}(f)$$$$\quad\qquad\implies (a-b)=0\implies a=b$$\(\quad\qquad\)Weil der Kern ausschließlich die \(0\) enthält, ist \(f\) also injektiv.


Die Antwort auf deine zweite Frage liefert die Negation der pinken Aussage:

\(\pink{\text{\(f\) nicht injektiv} \Longleftrightarrow\text{Kern\((f)\ne\{0\}\)}}\)

Avatar von 152 k 🚀
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Sei \(f_A\) die Abbildung \(x\mapsto Ax\).

Dann gilt \(f_A\) injektiv \(\iff \ker(A)=0\).

Suche einen Beweis hierfür!

Wenn du nicht weiterkommst, bitte melden!

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