Ist folgende Abbildung injektiv oder surjektiv?

Question

Aufgabe: Entscheiden Sie für die folgende Abbildung, ob diese injektiv oder surjektiv ist.

\( h: \mathbb{Q} \backslash\{0\} \rightarrow\{-1,+1\},~ h(x):=\frac{x}{|x|} \),

wobei \( |x|:=\left\{\begin{array}{ll}x & \text { falls } x \geq 0 \\ -x & \text { sonst }\end{array}\right. \)

Kann mir das jemand kurz erklären? Liege ich mit der Vermutung richtig, dass die Abbildung surjektiv ist?
LG :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Abbildung bildet alle \(x\in\mathbb Q^+\) auf die \(1\) ab und alle \(x\in\mathbb Q^-\) auf die \((-1)\).

Eine Abbildung ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Da die Funktion alle \(x\in\mathbb Q^+\) auf \(1\) abbildet, treffen insbesondere die Argumente \(1\) und \(2\) aus \(\mathbb Q^+\) das Ziel \(1\). Das Ziel \(1\) wird also mehr als 1-mal getroffen.

Die Abbildung ist daher nicht injektiv.

Eine Abbildung ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielemenge mindestens 1-mal getroffen wird. Die Zielmenge enthält die Elemente \(1\) und \((-1)\). Die \(1\) wird von allen Argumenten \(x\in\mathbb Q^+\) getroffen, die \((-1)\) wird von allen Argumenten aus \(\mathbb Q^-\) getroffen.

Die Abbildung ist daher surjektiv.

Answer 2

Ja, sie ist surjektiv, denn alle Werte von der Wertemenge werden mind. einmal getroffen. Injektiv nicht, da z.B. für x=1 und x=2 gilt:

f(1) = 1/1 = 2/2 = f(2)

aber 1 ist nicht gleich 2.