Eine Quasiordnung muss zwei Bedingungen erfüllen:
1.) Transitivität: Aus (x,y)∈R und (y,z)∈R muss (x,z)∈R folgen.
Diese Bedingung ist bereits erfüllt, denn wenn x>y und y>z gilt, gilt automatisch auch x>z.
2.) Reflexivität: Für jedes Element x muss (x,x)∈R gelten. Das ist offensichtlich nicht erfüllt, denn für kein x ergibt die Ungleichung x>x eine wahre Aussage. Deswegen müssen zu R noch alle Paare mit identischen Komponenten hinzugefügt werden. Für die Halbordnung gilt also:
R' = R∪{(x,x): x∈M}
3.) Antisymmetrie: Wenn sowohl (x,y)∈R als auch (y,x)∈R gilt, dann muss x=y gelten. Offensichtlich ist es in R überhaupt nicht möglich, dass gleichzeitig x>y und y>x gelten, deswegen ist die Bedingung dort automatisch erfüllt.
Auf der Halbordnung R' ist die Bedingung immer noch erfüllt, denn nun ist es möglich, dass eben die beiden Elemente gleich sind.
In Wirklichkeit handelt es sich nun also um die Kleiner-Gleich-Beziehung.
Es gilt dann:
min K existiert nicht.
max K existiert nicht.
sup K = 1
inf K = -1