Wie viele Würfe werden auf lange Sicht im Durchschnitt erforderlich sein, um das Feld 20 zu erreichen?

Question

Aufgabe:

Bei Spiel rückt der Spielstein nach jedem Wurf mit einem Würfel um die geworfene Augenzahl nach rechts, falls diese gerade und nach links, falls diese ungerade ist.

Wie viele Würfe werden auf lange Sicht im Durchschnitt erforderlich sein, um das Feld 20 zu erreichen?

Problem/Ansatz:

Am Anfang ist er ja auf 0. Dann würfelt man entweder eine gerade Zahl und kommt eins nach rechts

Dann würfelt man eine ungerade Zahl geht wieder nach links ist wieder auf 0...

Wie soll das funktionieren?

Comments

Mit welchen Zahlenfolgen erreicht man 20?

Es geht los mit: 20*1, 18*1+2, 17*1+3 usw.

Die Aufgabe scheint mir sehr aufwändig zu sein.

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Da die geraden Zahlen 2, 4 und 6 jeweils um 1 größer sind als die ungeraden, kommt er im Schnitt mit jedem zweiten Wurf um 1 Feld nach rechts. Um 20 Felder nach rechts zu kommen, braucht er daher im Durchschnitt 2•20=40 Würfe.

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@ggT22

Mit welchen Zahlenfolgen erreicht man 20?
Es geht los mit: 20*1, 18*1+2, 17*1+3 usw.

Das ist ein falscher Ansatz. Bei geraden Zahlen geht es nach rechts (addieren), bei ungeraden nach links (subtrahieren).

Bei 20*1 wäre man bei -20,

bei 18*1+2 bei -16, usw.

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Das sieht nach einer recht komplexen Aufgabe zum Thema Random Walk aus. Wichtig wäre noch zu wissen, ob das Feld Nr. 20 exakt getroffen werden muss oder ob das Feld 20 auch als "erreicht" gelten soll z.B. nach der Wurffolge

[6,6,3,4,2,6] , welche insgesamt von Feld 0 zu Feld 21 geführt - und dabei das Feld 20 übersprungen hat. Gelten nur "exakte Treffer", so wird die Rechnung sicher sehr umständlich, denn es gibt ja dann im Prinzip beliebig lange Wurf-Folgen, die irgendwann mal exakt auf Feld 20 landen.

Answer 1

Am Anfang ist er ja auf 0. Dann würfelt man entweder eine gerade Zahl und kommt eins nach rechts

Nein, denn man rückt ...

um die geworfene Augenzahl nach rechts

Comments

denn man rückt ...
um die geworfene Augenzahl nach rechts

Das stimmt nur bei geraden Zahlen.

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Wie man sieht, ist Deutsch ein viel größeres Problem als Mathematik.

Answer 2

Erwartungswert des Vorrückens pro Wurf

2·1/6 + 4·1/6 + 6·1/6 - 1·1/6 - 3·1/6 - 5·1/6 = 1/2

D.h. man braucht erwartungsgemäß 40 Würfe um 20 Felder nach rechts zu rücken.

Wir gehen mal davon aus, dass wir auf einer Zahlengeraden bei 0 starten und sowohl nach rechts als auch nach links unendlich viele weitere Felder sind.

Comments

Woher stammen denn deine Aufgaben?

Ich erkenne da kein eindeutiges Niveau. Wenn es darum geht das Feld 20 exakt zu treffen ist das deutlich aufwändiger und nicht vergleichbar mit deinen anderen viel trivialeren Aufgaben.

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Die letzten gestellten Aufgaben kommen tatsächlich von ein und demselben Arbeitsblatt einer 10ten Klasse

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Ok. Dann denke ich, es wird so gelöst, wie ich es oben vorgemacht habe, wohl wissend, dass dann die Aufgabenstellung alles andere als präzise ist.

Answer 3

Angenommen, jemand würfelt nacheinander 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dann rückt er so (natürlich alles auf einer Geraden. Der Sichtbarkeit wegen noch unten auseinandergezogen):