Aufgabe:
a) Zu den Stützpunkten \( \left(x_{i}, y_{i}\right) \) für \( i=0,1, \ldots, n \) mit \( x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \) und \( y_{0}=y_{n} \) sei \( s \) der kubische interpolierende Spline mit periodischen Randbedingungen. Beweisen Sie, dass für die \( k \)-ten Ableitungen gilt:
\( \int \limits_{x_{0}}^{x_{n}} s^{(k)}(x) \mathrm{d} x=0 \)
für alle \( k \geq 1 \). Machen Sie dazu Fallunterscheidungen.
b) Sei \( q \) der lineare interpolierende Spline (Grad 1) zu den Stützpunkten \( \left(x_{i}, y_{i}\right) \) für \( i=0,1, \ldots, n \) mit \( x_{i} \neq x_{j} \) falls \( i \neq j \). Begründen Sie, dass die Gesamtkrümmung von \( q \) null ist. Wieso steht dies nicht im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft des kubischen interpolierenden Splines (Grad 3) bezüglich der Gesamtkrümmung?
c) Sei \( x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \) und \( S_{k}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) \) die Menge aller Splines vom Grad \( k \).
i) Geben Sie die Dimension des Vektorraums \( S_{k}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) \) an.
ii) Begründen Sie, dass \( S_{k}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) \) keine Teilmenge von \( S_{k+1}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) \) ist.
iii) Bestimmen bzw. charkterisieren Sie die Schnittmenge
\( S_{2}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) \cap S_{3}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) . \)
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
