Restgliedformel eine obere Schranke bestimmen

Question

a) Sei \( f(x)=\mathrm{e}^{2 x} \). Es bezeichnet \( p_{2} \) das Interpolationspolynom zu den drei Stützstellen \( x_{0}=-1, x_{1}=0, x_{2}=1 \). Bestimmen Sie mit der Restgliedformel eine obere Schranke für den Fehler

\( \max _{x \in[-1,1]}\left|f(x)-p_{2}(x)\right| . \)

b) Betrachten Sie die Funktion \( f(x)=x^{n-1} \) mit \( n \geq 1 \) und zugehörige Stützpunkte \( \left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right) \) für \( i=0,1, \ldots, n \) mit \( x_{i} \neq x_{j} \) für \( i \neq j \). Bestimmen Sie die beiden dividierten Differenzen \( f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right] \) und \( f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right] \).

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Comments

Lade mal nicht Deine Aufgaben mit der stets gleichen Frage hoch, sondern gleich Deine Lösungen/Lösungsversuche dazu. Hier sind noch nicht mal Beweise gefragt, sondern nur Einsetzen und Rechnen.

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Wie lautet denn das von dir berechnete Interpolationspolynom \(p_2\) ?

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Das ist in der Aufgabe gar nicht gefragt und benötigt man auch gar nicht.

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Ist denn das Interpolationspolynom
das 2-te Taylorpolynom von f(x) mit
Entwicklungspunkt 0 ?

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Nein, Interpolation hat damit nichts zu tun.

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Welche Restgliedformel ist denn gemeint?

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Na die vom Interpolationsfehler, die Fragerin weiß das sicher.

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Dann wünsch ich mir, dass sie mir diese mitteilt ;-)
Ich will hier ja auch was lernen !

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a) habe ich schon. Das Ergebnis ist:

\( \max |f(x)-p_2(x)| \leq \frac{1}{6} \cdot 8 e^{2} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{3}} \leq \frac{8 e^{2}}{9 \sqrt{3}} \) = ungefähr 3,792

Richtig oder?

Zu b) habe ich noch keine Ahnung. Kannst du mir bitte Tipps geben?

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Ich habe noch eine Aufgabe über Restgliedformel gelöst, um zu üben...

Die Funktion \( f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{2} x\right)-x^{3}+1 \) soll an den Stützstellen \( x_{i}, i=0,1,2,3 \) interpoliert werden. Die Daten sind gegeben durch

\( i \)  = 0,1, 2, 3
\( x_{i} \)= -1, 0, 1, 2
\( f\left(x_{i}\right) \) = 0, 1, 2, -7

Geben Sie mittels der Restgliedformel eine (möglichst niedrige) obere Schranke \( C \) an, so dass \( \left|f\left(\frac{1}{2}\right)-p\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq C \) mit dem Interpolationspolynom \( p(x) = 1 + \frac{8}{3} x - \frac{5}{3}x^3\) gilt.

Mein Ergebnis:

\( |f(1/2)-p(1/2)| \leq \frac{1}{24} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{\pi^4}{8} = 0,285 \)

Stimmt mein Ergebnis? Danke im Voraus für die Antwort :)

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Mein Ergebnis:\( |f(1/2)-p(1/2)| \leq \frac{1}{24} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{\pi^4}{8} = 0,285 \)

Richtig?..

9/16 ist w_4(1/2)...

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Zahlenmäßig richtig, ohne Herleitung aber keine volle Punktzahl und auch keine Garantie, dass Dein Vorgehen richtig ist. p(x) hab ich nicht nachgerechnet, weil das in der Aufgabe auch gar nicht gefragt war.

Nochmal: Weitere Aufgaben in neuen, getrennten Fragen bitte.

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Die Herleitung habe ich schon gemacht.

Danke :)

Nochmal: Weitere Aufgaben in neuen, getrennten Fragen bitte.

Alles klar :)

Answer 1

Dein Ergebnis für a) stimmt, aber ohne Herleitung gibt das sicherlich keine volle Punktzahl.

Zu b) habe ich noch keine Ahnung. Kannst du mir bitte Tipps geben?

Tipp: Für Ahnung sorgen, indem Du die Formeln nachschlägst und rechnest.

Wenn es dann Probleme gibt, kannst Du immer noch nach Tipps fragen. a) hast Du ja auch ohne Tipps geschafft, das traue ich Dir für b) auch zu.

Comments

\( f\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)=\frac{f\left(x_{1}, \ldots x_{n-1}\right)-f\left(x_{0}, \cdots, x_{n-2}\right)}{x_{n-1}-x_{0}}= \frac{x^{n-2}-x^{n-3}}{x_{n-1}-x_{0}} \)

Richtig ?

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Ich habe mich vertippt
\( \frac{x^{n-1}-x^{n-2}}{x_{n-1}-x_{0}} \)

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Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil die div. Differenzen Zahlen sind, die nur von den Stützstellen abhängen, aber nicht von \(x\). Hast Du jemals ein Beispiel (irgendeines!) für Newton-Interpolation gerechnet? Mach das, damit Du die div. Differenzen verstehst.

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Ich verstehe die div. Differenzen und ich habe mehrer Beispiele gerechnet. Aber ich verstehe diese Aufgabe nicht. Vielleicht, weil die keine Zahlen enthält...

Beispiel:

x_0 = 0, x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3.

mit Hilfe der Newtonschen dividierten Differenzen:
\( \begin{array}{l} {\left[x_{0}\right] y=\underline{1}} \\ {\left[x_{1}\right] y=2 \quad\left[x_{0}, x_{1}\right] y=\underline{1}} \\ {\left[x_{2}\right] y=0 \quad\left[x_{1}, x_{2}\right] y=-2 \quad\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right] y=-\frac{3}{2}} \\ {\left[x_{3}\right] y=1 \quad\left[x_{2}, x_{3}\right] y=1 \quad\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right] y=\frac{\frac{2}{2}}{2} \quad\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}\right] y=\underline{1}} \\ \end{array} \)

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Wenn Du es verstehst, wie kommen dann die \(x\)'e in Deine div. Differenzen? Hast Du obiges Beispiel selbst von Hand gerechnet? Ich könnte das nicht, in 12 Min., inkl. Setzen in LaTeX. Ehrlich?

Rechne mal die Aufgabe für \(n=1,2,3\).

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In der Aufgabe steht, dass \( f(x)=x^{n-1} \) ist

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Ja, und? Beantworte bitte meine vorige Frage.

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Meintest du diese x‘e?

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Hast Du obiges Beispiel selbst von Hand gerechnet? Ich könnte das nicht, in 12 Min., inkl. Setzen in LaTeX. Ehrlich?

Ja. Ich habe ein Bild davon gemacht und hochgeladen. Das wurde dann automatisch in Latex geschrieben

Ja, und?

Deswegen hat meine Lösung x´e

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Ja, diese \(x\)'e, welche sonst?

"Deswegen...." : Du hast es eben nicht verstanden. Ich hab jetzt erstmal genug Anregungen gegeben (s.o.). Du bist dran.

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Du hast Recht, sorry das habe ich jetzt erst gemerkt.. Die Lösung ist:

\( f\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)=\frac{f\left(x_{1}, \ldots x_{n-1}\right)-f\left(x_{0}, \cdots, x_{n-2}\right)}{x_{n-1}-x_{0}}\)

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Siehe obige Anregungen.

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Ok aber sag es nur mir, Ist die Lösung immer noch falsch?

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Das ist die allgemeine Formel, wir haben aber eine konkrete Funktion. Es hat keinen Sinn weiter zu raten, wenn Du es nicht verstanden hast. Letztmalig: Siehe obige Anregungen.

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Ich habe für n = 2 gerechnet.

Die Lösung sollte so aussehen:
\( f\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)=\frac{f\left(x_{1}, \ldots x_{n-1}\right)-f\left(x_{0}, \cdots, x_{n-2}\right)}{x_{n-1}-x_{0}}= \frac{x^{n-1}-x^{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}} - \frac{x^{n-2}-x^{n-3}}{x_{n-2}-x_{n-3}} - \dots - \frac{x^{1}-1}{x_{1}-x_{0}} \)

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Kann nicht sein, weil ja noch \(n\) drin steht. Und wieder hast Du \(x\) drin stehen. Hab's ja oft genug gesagt, ich kann nichts weiter tun, wenn Du nicht sorgfältig vorgehst.

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Das ist was ich gerecht habe… falsch?

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Ja. Schon die Wertetabelle ist falsch. Nochmal: Im Nebel stochern ohne Verständnis hat keinen Sinn. Gesteh Dir erstmal ein, dass Du null Ahnung hast, was Du da tust. Das mag bitter sein, aber ab dann würde es vorwärts gehen. Alles andere ist sinnlos.

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Wieso falsch ? \( f(x)=x^{n-1} \) mit \( n \geq 1 \)

\( f(x)=x^{1-1} = 1 \)

\( f(x)=x^{2-1} = x^1 \)

\( f(x)=x^{3-1} = x^2 \)

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Sieht die Wertetabelle so aus?

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Also \( f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right] \) ist gleich 1 und \( f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right] \) ist gleich 0.

Stimmt jetzt oder? :)  wenn ja, muss ich in der Lösung für n = 1,2,3 rechnen oder muss die Lösung für n = n sein, um die volle Punktzahl zu kriegen?

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Wertetabelle stimmt jetzt (sollte aus der Schule bekannt sein). Dein Ergebnis stimmt aber nicht und ich sehe auch nicht, wo Du die Fälle n=1,2,3 bis zum Ende durchgerechnet hast (mehrfache Empfehlung von gestern abend). Für die Aufgabe brauchst Du aber den allgemeinen Fall. Der kommt später (ich glaube nicht, dass Du mit Raten zum Ziel kommst).

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Für n= 3 fehlt noch die f(x0,x1,x2,x3) = \( \frac{1-1}{x_ - x_0} = 0 \).

Wo habe ich Fehler gemacht?

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Du hast nur das div.Diff-Schema gerechnet. Rechne auch das Polynom aus.

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Für n= 3:
f(x0,x1,x2) und f(x0,x1,x2) = x^2


Stimmt?

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Ok, scheint richtig. Und was fällt Dir daran auf? Jetzt kommt der entscheidende Punkt in der Aufgabe. Aufgaben dienen nicht dazu irgendwelche Sachen auszurechnen, sondern das Thema richtig zu verstehen. Diese Hürde kommt jetzt.

Also, was fällt auf? Warum ist das so, wie es ist. Im Skript (oder sonstwo) nachlesen über Idee der Interpolation, Existenz und Eindeutigkeit des IP. Wenn das verstanden ist (nicht vorher!), kann man mit etwas Rechnung rückschließen auf die gesuchten div. Differenzen.

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Was mir auffällt ist dass f(x0,x1,…,xn-1) und f(x0,x1,…,xn) = x^(n-1) sind..

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Und weiterdenken... Siehe oben...

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[x0,…,xn-1]y und [x1,…,xn]y sind gleich 1.

[x0,….,xn]y = 0.

Das fällt mir auch auf..

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[x0,…,xn-1]y und [x1,…,xn]y sind gleich 1.

[x0,….,xn]y = 0.

reicht das nicht?

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Ich sehe keinen Nachweis dafür. Vorgehen siehe oben (weiterdenken....).

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Kannst du bitte damit anfangen? Dann kann ich vielleicht alleine weiter machen..

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Ich hab gesagt was zu tun ist. Das musst Du dann schon selbst machen: Sinn von Aufgaben ist es, Verständnis zu erlangen. Hab ich auch schon gesagt. Auf geht's. Fang an, mit geordneten Gedanken (nicht raten!).

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Satz: Dividierte Differenzen

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Ich hab Dir gesagt, was hilft und Dich mehrfach darauf hingewiesen.