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Auf dem Vektorraum \( \mathbb{R}_{n}[x] \) der reellen Polynome maximal \( n \)-ten Grades sei das Skalarprodukt
\( \langle f, g\rangle:=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x \)
gegeben.
Beweisen Sie, dass für beliebiges \( n \geqslant 1 \) die Gramsche Matrix \( G=\left[g_{j k}\right] \in M(n+1 \times \) \( n+1, \mathbb{R}) \) zur Monombasis \( p_{0}(x)=1, p_{1}(x)=x, \ldots \) des \( \mathbb{R}_{n}[x] \) gegeben ist durch
\( g_{j k}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } j+k-1 \text { gerade } \\ \frac{2}{j+k-1} & \text { falls } j+k-1 \text { ungerade. } \end{array}\right. \)
Sei nun \( n=2 \) und \( b_{0}(x)=-2, b_{1}(x)=x-1, b_{2}(x) \) eine Basis von \( \mathbb{R}_{2}[x] \) mit der zugehörigen Gramschen Matrix
\( G=\left[\begin{array}{ccc} \left\langle b_{0}, b_{0}\right\rangle & \left\langle b_{0}, b_{1}\right\rangle & \left\langle b_{0}, b_{2}\right\rangle \\ \left\langle b_{1}, b_{0}\right\rangle & \left\langle b_{1}, b_{1}\right\rangle & \left\langle b_{1}, b_{2}\right\rangle \\ \left\langle b_{2}, b_{0}\right\rangle & \left\langle b_{2}, b_{1}\right\rangle & \left\langle b_{2}, b_{2}\right\rangle \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & -16 / 3 \\ 4 & 8 / 3 & -4 \\ -16 / 3 & -4 & 32 / 5 \end{array}\right] \)
Bestimmen Sie alle möglichen Polynome \( b_{2}(x) \in \mathbb{R}_{2}[x] \) die auf die gegebene Gramsche Matrix führen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(i) Bestimmen Sie zunächst alle möglichen Polynome \( q(x)=a x^{2}+b x+c \in \mathbb{R}_{2}[x] \) mit \( \left\langle b_{0}, q\right\rangle=-16 / 3 \) und \( \left\langle b_{1}, q\right\rangle=-4 \). Stellen Sie zur Bestimmung von \( a, b, c \) ein lineares Gleichungssystem auf, lösen Sie dieses und charakterisieren Sie die Lösungsmenge ggf. mithilfe eines Parameters \( \lambda \).
(ii) Nutzen Sie die in \( (i) \) bestimmte Lösungsmenge um alle möglichen \( q(x) \) zu finden, die zusätzlich zu den Bedingungen aus \( (i) \) die Forderung \( \langle q, q\rangle=32 / 5 \) erfüllen.
Problem/Ansatz:
Hat hier jemand einen Ansatz bzw eine kleine Anleitung für mich. Ich habe absolut keine Idee, möchte es dennoch gerne alleine schaffen. Vielen Dank im Voraus.
LG Wurst
