Zeige: Würde man in der Definition aus c) auf die Forderung "Df(x0) stetig" verzichten,

Question

Aufgabe:

Zeige: Würde man in der Definition aus c) auf die Forderung "Df(x0) stetig" verzichten,
gölte die Implikation "differenzierbar ⇒ stetig" nicht mehr. (Siehe Bild für Definition aus c). Das letzte Wort ist "erfüllen", das hat nicht aufs Foto gepasst.)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin auf der Suche nach einem Gegenbeispiel... Ich dachte da an eine Funktion aus C⁰(kompakt 0,1). Im Internet bin ich schon auf die Funktion f(g) = g(0) gestoßen, scheitere aber daran, zu zeigen, dass sie zwar differenzierbar aber nicht stetig

Text erkannt:

c) Definition: Es seien \( X, Y \) normierte Räume, \( D \subset X \) offen, \( f: D \rightarrow Y \) eine Funktion und \( x_{0} \in D \). Dann heißt \( f \) differenzierbar in \( x_{0} \), wenn eine stetige lineare Abbildung \( D f\left(x_{0}\right): X \rightarrow Y \), ein \( r>0 \) und eine Funktion \( \varphi: B_{r}(0) \rightarrow Y \) existieren, die
\( \begin{aligned} f\left(x_{0}+h\right) & =f\left(x_{0}\right)+\left(D f\left(x_{0}\right)\right)(h)+\varphi(h) \quad \text { für alle } h \in B_{r}(0) \quad \text { und } \\ \frac{\varphi(h)}{\|h\|_{X}} & \rightarrow 0 \text { (in } Y \text { ) für } h \rightarrow 0(\text { in } X) \end{aligned} \)

ist.

Answer 1

Ein Gegenbeispiel liefert jede lineare Abbildung, die nicht stetig ist.

Ein klassisches Beispiel ist:

$$X:=C^1[0,1],Y=C[0,1], \text{  beide mit Supremums-Norm. }f(x):=x'$$Gegenbeispiel für die mangelnde Stetigkeit von f:

$$x_n(t):=\frac{1}{n}\sin(nt)$$