Aufgabe Widerlegen Lipschitz Stetig normierte vektorräume

Question

Aufgabe:

Es seien \( X, Y \) normierte Vektorräume, \( U \subset X \) eine offene und konvexe Teilmenge und \( f: U \rightarrow Y \) eine differenzierbare Funktion, so dass \( \left\|f^{\prime}\right\| \) auf \( U \) beschränkt ist.

(a) Zeige, dass \( f \) Lipschitz-stetig ist.
(2 Punkte)
(b) Beweise oder widerlege die Aussage aus (a), wenn \( U \) nicht als konvex vorausgesetzt wird.
(20 Zusatzpunkte)

Hinweis: Eine Menge \( U \subset X \) heißt konvex, wenn für alle \( a, b \in U \) gilt, dass die Menge \( \{a(1-t)+b t \mid t \in[0,1]\} \) ganz in \( U \) enthalten ist.

Ich brauche nur die (b) 

Hat jemand eine Idee? Meines Wissens nach sollte das recht einfach zu widerlegen sein aber finde nicht raus wie...

Comments

Wo hast du bei a) denn konvex benutzt?

lul

Answer 1

Was hältst Du von

$$f:(0,1) \cup (1,2) \to \R, \qquad f(x):=0, \quad x \in (0,1) \text{  und } f(x):=1, \quad x \in (1,2)$$