Taylorreihe. f sei unendlich oft stetig differenzierbare Funktion

Question

Sind die Aussagen wahr oder falsch

Aufgabe:

1.) Sei f eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion (über den reellen Zahlen R), dann gibt es ein offenes Intervall L in R mit 0 Element von L mit der Eigenschaft, dass f(x) = (T f)(x;0) für alle x Element von L.

2.) Sei f eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion (über den reellen Zahlen R). Wenn f(x) = (T f)(x;0) für ein x ungleich 0 gilt, dann gilt f(x) = (T f)(x;0) für alle x Element der reellen Zahlen.

Problem/Ansatz:

Suche hier jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Zu 1.) Wenn f unendlich oft differenzierbar ist, kann man für die Funktion doch eine Taylorreihe entwickeln. Diese konvergiert innerhalb ihres Konvergenzradius. Also muss es ja ein solches Intervall um den Entwicklungspunkt geben, sodass die Funktion auf diesm Intervall durch die Taylorreihe dargestellt wird. Oder liege ich hier falsch?

Zu 2.) Hier habe ich leider keine Idee, vermute aber, dass die Aussage falsch ist.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

1) Es gibt glatte Funktionen, für die die Taylorreihe nur in ihrem Entwicklungspunkt gegen die Funktion konvergiert. Die Aussage ist also falsch.

(z.B. die Taylorreihe von

$$ f(x):=\begin{cases}0&x=0\\e^{-\frac{1}{x^2}}&x\neq 0\end{cases}$$ konvergiert auf ganz IR aber nur im Entwicklungspunkt gegen die Funktion.)

2) Auch falsch.

Für beides sollte
$$ f(x):=\begin{cases}0&x\le0\\e^{-\frac{1}{x^2}}&x>0\end{cases}$$ein Gegenbsp darstellen. Wenn du das um 0 entwickelst kommt da die Nullfunktion raus. Wenn du jetzt f und die Nullfunktion mal zeichnest siehst du: Es gibt weder das Intervall aus 1, noch ist 2 erfüllt, da die Funktionen auf IR nicht übereinstimmen

Comments

In Anbetracht deiner anderen Frage, sollte als Gegenbsp vielleicht besser

$$f(x):=\begin{cases}0&x\le0\\e^{-\frac{1}{x}}&x>0\end{cases}$$

verwendet werden.

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Danke. Deine Argumentation zu 2.) sehe ich ein und auch, dass die Funktion aus meiner anderen Frage hier als Gegenbeispiel funktioniert.

Aber bei 1.) funktioniert das doch nicht, da es ein solches Intervall dann gäbe, nämlich L=]-∞,0]. Oder liege ich falsch?

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Das ist schon richtig, aber ist dieses Intervall auch offen?

offenes Intervall L

Wenn L offen und 0 in L, dann gibt es ein ε>0, s.d. (0-ε,0+ε)⊆L. Das ist bei deinem Intervall ja nicht der Fall.

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Ja klar, mein Fehler das Intervall ]-∞,0] ist ja nur halboffen.

Danke jetzt ist alles klar.