Berechnung der Basen und Dimensionen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden vier Untervektorräume des R⁴. Geben sie jeweils eine Basis und Dimension des Untervektorraums an.

a) V₁ = _df {(x₁,x₂,x₃,x₄)}^t ∈ R⁴ | 3x₁ = 5x₂ ∧ x₃ = 2x₄ }
b) V₂ =_df {(x₁, x₂, x₃, x₄)^t ∈ R⁴ | 2x₂ = 3x₃}

c) V₃ =_df V1 ∩ V2

d)V₄ =_df V1 + V2

Für V₁ habe ich die Basis {(5,3,0,0), (0,0,2,1)} mit der Dimension 2.

Für V₂ habe ich die Basis {(1,0,0,0), (0,3,2,0), (0,0,0,1)} mit der Dimension 3.

Problem/Ansatz:

Sind die Basen richtig berechnet bis jetzt und wie würde ich bei c und d vorgehen?

Answer 1

Zu a) und b)

Deine Basen und Dimensionen sind richtig.

Zu c)

Bestimme den Rang der Matrix des LGS, das aus den linearen Gleichungen

von \(V_1\) und \(V_2\) besteht. Als Rang solltest du 3 bekommen,

d.h. \(\dim(V_1\cap V_2)=4-3=1\). Scharfes Hingucken

ergibt \((5,3,2,1)\in V_1\cap V_2\) und damit

ist \(\{(5,3,2,1)\}\) eine Basis von \(V_1\cap V_2\).

Zu d)

Es gilt \(\dim(V_1+V_2)=\dim(V_1)+\dim(V_2)-\dim(V_1\cap V_2)\).

Comments

Danke für deine Hilfe, aber ich verstehe nicht ganz wie du auf die Basis bei c) gekommen bist. :S

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Ich habe gesehen, dass \((5,3,0,0) + (0,0,2,1)\) offenbar in

\(V_1\) liegt. Da für diesen Vektor \(2x_2=3x_3\) gilt,

liegt er auch in \(V_2\) und da \(\dim(V_1\cap V_2)=1\) ist,

spannt er \(V_1\cap V_2\) auf.

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Bei d) hätte ich als basis
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1), dim(4)

zu c) ja jetzt hab ich die intersection verstanden danke :)

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Ja. d) ist korrekt !

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Danke, für deine Hilfe :)

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Wie wäre die Basis von V1 wenn statt dem "und" V₁ = _df {(x₁,x₂,x₃,x₄)}^t ∈ R⁴ | 3x₁ = 5x₂ ∧ x₃ = 2x₄ }

ein "oder" vorhanden wäre

V₁ = _df {(x₁,x₂,x₃,x₄)}^t ∈ R⁴ | 3x₁ = 5x₂ v x₃ = 2x₄ }

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Dieses \(V_1\) wäre kein Vektorraum;

denn \(v=(5,3,1,0)^t,\; w=(1,0,2,1)^t\in V_1\), aber \(v+w\notin V_1\).