Zeige, dass (Q[X], +, *) kein Körper ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass (Q[X], +, *) kein Körper ist.

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass der Grund sein sollte dass (Q[X], *) keine abelsche Gruppe ist, weil es nicht für alle Elemente ein multiplikatives Inverses gibt und dass das mit der Irreduzibilität mancher Polynome zusammenhängt, aber ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz, bzw. die Begründung.

Answer 1

dass (Q[X], *) keine abelsche Gruppe ist, weil es nicht für alle Elemente ein multiplikatives Inverses gibt

Das ist richtig. Zum Beispiel hat das Nullpolynom kein Inverses.

Nur ist das kein Grund, warum (Q[X], +, *) kein Körper sein sollte. Wenn (K, +, *) ein Körper ist, dann ist (K, *) keine abelsche Gruppe.

Stattdessen: (Q[X], +, *) ist kein Körper, weil X kein multiplikatives Inverses hat. Für den Beweis, überlege dir wie Grad p, Grad q und Grad (p*q) zusammenhängen und welchen Grad das *-neutrale Element hat.

Answer 2

Es gibt sicher "unzählige" Möglichkeiten zu zeigen, dass \(Q[X]\)

kein Körper ist. Hier ein eher abwegiger Beweis:

Man betrachte den Einsetzungshomomorphismus

\(Q[X]\to Q, \; p\mapsto p(0)\). Dieser ist surjektiv

und sein Kern ist ein Ideal \(\neq 0\) und \(\neq Q[X]\).

Ein Körper besitzt aber keine echten Ideale, also ist

\(Q[X]\) kein Körper.