Aloha :)
Die Raumkurve \(\vec r(t)\) bescheibt den Rand des Integrationsbereichs:$$\vec r(t)=\binom{1+\cos t}{\sin^3t}=\binom{1}{0}+\binom{\cos t}{\sin^3t}=\binom{1}{0}+\binom{\cos t}{\sin t\cdot(1-\cos^2t)}$$
Für die Bestimmung der von \(\vec r(t)\) eingeschlossenen Fläche ist die Verschiebung \(\binom{1}{0}\) irrelevant. Für den relevanten Teil \(\vec r_0(t)\) stellen wir folgende Symmetrie fest:$$\vec r_0(t)=\binom{\cos t}{\sin t\cdot(1-\cos^2t)}=\left\{\begin{array}{cl}\binom{\cos t}{\sqrt{1-\cos^2t}\cdot(1-\cos^2t)} & \text{für }t\in\left[0;\pi\right]\\[1ex]\binom{\cos t}{-\sqrt{1-\cos^2t}\cdot(1-\cos^2t)} & \text{für }t\in\left[\pi;2\pi\right]\end{array}\right.$$
Für \(t\in[0;\pi]\) verläuft \(\vec r_0(t)\) oberhalb der \(x\)-Achse und für \(t\in[\pi;2\pi]\) symmetrisch dazu unterhalb der \(x\)-Achse. Es reicht also aus, die Fläche zwischen \(\vec r_0(t)\) und der \(x\)-Achse im Bereich von \(t\in[0;\pi]\) zu bestimmen, wenn wir dafür das Ergebnis verdoppeln.
Und wir können uns die Rechnung sogar noch weiter vereinfachen, weil für \(t\in[0;\frac\pi2]\) die \(x\)-Koordinate \(\cos t\) positiv ist und für \(t\in[\frac\pi2;\pi]\) negativ. Wir haben also eine weitere Symmetrie der zu bestimmenden Fläche, diesmal bezüglich der \(y\)-Achse. Wir können daher das Integrationsintervall auf \(t\in[0;\frac\pi2]\) reduzieren, wenn wir dafür das Ergebnis ein weiteres Mal verdoppeln.
Im Intervall \(t\in[0;\frac\pi2]\) nimmt \(\cos t\) die Werte von \([0;1]\) an, sodass wir \(\cos(t)\) durch \(x\in[0;1]\) ersetzen und das Integral für die Fläche formulieren können:$$F=4\cdot\int\limits_0^1\sqrt{1-x^2}\cdot(1-x^2)\,dx=4\int\limits_0^1(1-x^2)^{\frac32}=\cdots=\frac34\pi$$
Die Freude beim Berechnen des Integrals möchte ich dir nicht nehmen, daher nur \((\cdots)\) statt des vollständigen Rechenwegs.
