Irrationale Zahl im gegebenen Intervall bestimmen / konstruieren?

Question

Eine Aufgabe lautet: 

Gib eine irrationale Zahl innerhalb des vorgegebenen Intervalls an: ]8; 9[

Wie würdet ihr die lösen?

Answer 1

Du weißt, dass Wurzel aus ganzen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind irrationale Zahlen sind.

Mit anderen Worten: die Wurzel aus jeder ganzen Zahl zwischen 8² und 9² ist eine irrationale Zahl zwischen 8 und 9.

Also z.B. √70 oder √80. Oder eben die Wurzel aus jeder anderen ganzen Zahl zwischen 64 und 81.

Comments

Kleine Ergänzung: Es ist darauf zu achten, dass der 2. Satz nur für Ganze Zahlen gilt, also ohne Nachkommastellen.

Ansonsten würden gebrochene Zahlen wie 8,1² = 65,61 bei alleiniger Betrachtung des 2. Satzes berücksichtigt. Die Zahl liegt zwischen 8² und 9², aber die Wurzel aus (8,1²) bzw. 65,61 ist rational. √65,61 = √(8,1²) = 8,1

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Du hast Recht, ich habs zweimal gesagt, aber im entscheidenden Satz nicht. Das verbessere ich wohl lieber noch.

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Kein Problem, deshalb die kleine Ergänzung :)

Für den neugierigen Leser ein Beispiel für Kommazahlen: Intervall ]8,5; 9,5[

Zuerst Quadratzahlen ermitteln:

8,5² = 72,25;  9,5² = 90,25

Nun die Wurzel aus einer Zahl zwischen 72,25 und 90,25 bilden, wichtig: nur Zahlen mit 2 Nachkommastellen! Diese Zahl ist dann irrational. Zum Beispiel: √72,26 = 8,50058821494136369…