Ist folgende 1-Form exakt?

Question

Aufgabe:

Ist folgende 1-Form exakt?

ω: ℝ² × ℝ²→ ℝ mit

\( \omega(x, h):=\left(x_{2}-x_{1}\right) h_{2}+x_{2} h_{1} \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass eine hinreichende Bedingung für Exaktheit ist: ∂_i ω_j = ∂_j ω_i

Diese Bedingung habe ich auch nachgeprüft und die Ungleichheit gezeigt, also ist ω nicht exakt.

Aber Exaktheit kann man ja noch anders zeigen. Nämlich, indem man zeigt, dass es keine Stammfunktion gibt. Wie kann ich das am besten machen - mit einem indirekten Beweis? Ansatz: Angenommen es existiert eine Stammfunktion.

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Vielen Dank!

Answer 1

Ich schreibe mal die 1-Form in einer Art,

dass ich es verstehen kann:

\(\omega=(y-x)dy+ydx\). Für eine Stammfunktion \(f\)

würde gelten: \(df=f_xdx+f_ydy\), also

\(f_x=y\) und \(f_y=y-x\), somit gibt es Funktionen

\(p=p(y), q=q(x)\) mit

\(f=xy+p(y)=y^2/2-xy+q(x)\).

Dies muss man zum Widerspruch führen.

Comments

Ich hab’s, vielen lieben Dank!  Liegt daran, dass p und q jeweils nur von y bzw x abhängen und dadurch entsteht ein Widerspruch.