Summe von Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{x^{3}+9}\left(\left(\begin{array}{c}x^{3}+7 \\ x^{3}+7-k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x^{3}+7 \\ x^{3}+8-k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x^{3}+8 \\ x^{3}+9-k\end{array}\right)\right) \)

Problem/Ansatz:

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich weiß zwar wie ich die Summe und auch die Binomialkoeffizienten ausrechnen soll, aber nicht mit Termen wie x³+7 oder x³+9.

Answer 1

Substituiere x³+9=a

Dann geht es um

\( \sum \limits_{k=0}^{a}\left(\left(\begin{array}{c}a-2\\ a-2-k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a-2 \\ a-1-k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a-1\\ a-k\end{array}\right)\right) \).

Was man im Pascalschen Dreieck erhält, wenn man zwei benachbarte Werte einer
Zeile (wie z.B. \( \left(\begin{array}{c}a-2\\ a-2-k\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{c}a-2\\ a-1-k\end{array}\right) \) ) addiert, solltest du wissen.

Comments

Nur zur Kontrolle wie du die Binomialkoeffizienten zusammenfasst

$$\binom{a-2}{a-2-k} + \binom{a-2}{a-1-k} + \binom{a-1}{a-k} = \binom{a}{k}$$

Falls das unklar sein sollte schreib einfach nochmals.

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Sorry ich komme irgendwie nicht ganz mit... das x³+9 mit a vereinfachen ist auf jeden Fall eine gute Idee, aber inwiefern hilft mir das um die Summe auszurechnen?

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Wenn du die Binomialkoeffizienten zusammenfasst dann ergibt sich die Summe

$$\sum \limits_{k=0}^{a} \binom{a}{k} = 2^a = 2^{x^2 + 9}$$

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Oh ok ich glaube ich muss meine Theorie nochmal durchgehen... da habe ich wohl ein Paar Regeln vergessen. Danke euch!

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Was man im Pascalschen Dreieck erhält, wenn man zwei benachbarte Werte einer Zeile addiert, solltest du wissen.

a) Woher sollte man das wissen?

b) Wie oft kommt so etwas vor und wo?

c) Was ist der Sinn dieser Aufgabe?

d) Gibt es irgendeine praktische Anwendung dafür?

Das ist das Krasseste, was ich je in diesem Kontext gesehen.

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a) Woher sollte man das wissen?

Natürlich aus der Schule. Es müsste so 10. Klasse (vielleicht auch schon 9. Klasse) gewesen sein.

Auf deinen "running gag" in Form der Punkte b) bis d) reagiere ich mal nicht. Die ständig gleichen Phrasen ist das Forum mittlerweise gewohnt...

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Natürlich aus der Schule.

Garantiert nicht. Solche Aufgabe sind nie und nimmer Schulstoff.

Die Fragen, die ich stelle, stellen sich viele andere auch und das mit Recht.

Wenn Ihnen Sinnfragen egal sind und Sie sie nicht beantworten können oder wollen,

haben Sie ein Problem v.a ein pädagogisches.

Dass einige Ihre herablassende, spöttische Art wie auch hier wieder, hassen

ist Fakt und leider kein running Gag.

Motivation scheint für Sie ein großes Problem zu sein, obwohl

das das Basisproblem des Unterrichts ist.

Die Zeiten des Friss oder Stirb sollten vorbei sein,

bei Ihnen offenbar nicht.

Als Beamter mögen Sie sich das erlauben können,

anderswo hätten Sie in Ihrer überheblich Art gewaltige Probleme.

Was Sie neulich wieder mit Moliets gemacht haben, war eine Unverschämtheit

sondersgleichen.

Zum Fremdschämen.

Traurig, wer sowas nötig hat. Böswiligkeit rächt sich irgendwann, auch Ihre.

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Unflätigkeit scheint ja bei einigen wieder in zu sein .....

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@ggT:

Du solltest lernen, dich klarer auszudrücken.

Deinen Erguss

a) Woher sollte man das wissen?

hast du abgesondert, nachdem du eine Zeile vorher mich zitiert hast:

Was man im Pascalschen Dreieck erhält, wenn man zwei benachbarte Werte einer Zeile addiert, solltest du wissen.

a) Woher sollte man das wissen?

Ich habe dir DARAUF geantwortet, denn das Wesen der Summe zweier nachbarter Zahlen im Pascalschen Dreieck ist tatsächlich Schulstoff.

Ich habe damit keinesfalls behauptet, dass die von Bobbyboy eingestellte Aufgabe Schulstoff ist.

Sie lässt sich aber sehr wohl mit Mitteln des Schulstoffs lösen.

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Sie lässt sich aber sehr wohl mit Mitteln des Schulstoffs lösen.

Genau so ist es. Der gegebene Term sieht zwar zunächst etwas abschreckend aus. Eine Substitution drängt sich aber quasi auf - und sobald man die ausgeführt hat, ist die Aufgabe mit den Mitteln lösbar, die man aus der Schule über das Pascalsche Dreieck kennen sollte. Dieses konstruiert man ja in der Regel nach dem einfachen Prinzip, dass die Summe zweier nebeneinander stehender Zahlen die darunter zu setzende ergibt:

  \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} n\\k+1 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} n+1\\k+1 \end{pmatrix} \)

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Substitution drängt sich aber quasi auf

Dir schon, aber dem TS und sicher auch anderen nicht.

Auf diesen, entscheidenden Gedanken kommt nicht jeder.

Die Frage ist: Wie kommt man auf den Gedanken,

wenn man Substitution in solchen Kontext noch nie gesehen hat?

Quod in mentem venit Iovi, non invenit in mentem ... :)

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Erwartest du denn, dass nur Aufgaben gestellt werden dürfen, die in derselben Art (nur vielleicht mit anderen Zahlenwerten oder so) geübt bzw. "gedrillt" worden sind ?  Transfer-Leistungen verschiedenster Art müssen Menschen auch in ganz anderen Bereichen als in Mathe ständig leisten. Sowas gehört zum Thema einer gewissen Grund-Intelligenz.

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Substitution drängt sich aber quasi auf

Dir schon, aber dem TS und sicher auch anderen nicht.

Warum müssen sich Zusammenhänge immer aufdrängen?
Der Sinn vieler solcher Aufgaben ist es, kreativ darüber nachzudenken
und nur noch blass vorhandenes oder fehlendes Wissen zu beschaffen
oder zu erarbeiten. Diese Aufgabe ist wohl kaum für Schüler, sondern
für Studenten gedacht, bei denen man gewisse kognitive Fähigkeiten
und den Willen, ungewohnte Probleme zu lösen, voraussetzen kann.

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Warum müssen sich Zusammenhänge immer aufdrängen?

Habe ich irgendsowas behauptet ?

Ich dachte nur, dass so eine Substitution recht offensichtlich sei - für jeden, der den Term nicht nur ganz oberflächlich anschaut.

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Meine Äußerung bezog sich auf ggT ...
Ich bin absolut deiner Ansicht !!!