Aloha :)
Wir nennen den Radius des aufgesetzten Halbkreises \(r\). Dann ist die Breite des Rechtecks \(2r\). Die Höhe des Rechtecks nennen wir \(h\). Dann beträgt die Querschnittfläche:$$F=\underbrace{\text{Fläche Halbkreis}}_{\frac12\pi\cdot r^2}+\underbrace{\text{Fläche Rechteck}}_{2r\cdot h}$$$$F=\frac12\pi r^2+2rh=\frac12\pi r^2\pink{-2r^2}+\left(\pink{2r^2}+2rh\right)=\frac12\pi r^2-2r^2+\color{blue}2r(r+h)$$
Das ist ein Funktion, die von zwei Variablen abhängt. Um eine der beiden Variablen loszuwerden verwenden wir die Nebenbedigung an den Umfang des Kanals:$$\small U=\underbrace{\text{Umfang Halbkreis}}_{\pi\cdot r}+\underbrace{\text{Höhe Rechteck links}}_{h}+\underbrace{\text{Breite Rechteck}}_{2r}+\underbrace{\text{Höhe Rechteck rechts}}_{h}$$$$U=\pi\,r+h+2r+h=\pi r+2(h+r)$$Dieser Umfang soll gleich \(5\) sein:$$\pi r+2(h+r)=5\implies2(h+r)=5-\pi r\implies\color{blue}2r(r+h)=5r-\pi r^2$$
Diese Nebenbedingung setzen wir in die Flächenformel von oben ein:$$F(r)=\frac12\pi r^2-2r^2+{\color{blue}5r-\pi r^2}=5r-2r^2-\frac\pi2r^2=5r-\frac{4+\pi}{2}r^2$$Die Extremwerte der Fläche finden wir dort, wo die Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=F'(r)=5-(4+\pi)r\implies \underline{\underline{\green{r=\frac{5}{4+\pi}}}}$$
Dieses Ergebnis für \(r\) setzen wir in die Nebenbedinung ein, um \(h\) zu erhalten:$${\color{blue}2r(r+h)=5r-\pi r^2}\implies $$$$\small h=\frac{5r-\pi r^2}{2r}-r=\frac{5-\pi r}{2}-\frac{2r}{2}=\frac{5-(\pi+2)\green r}{2}=\frac{5-\pi r}{2}-\frac{2r}{2}=\frac{5-(\pi+2)\green{\frac{5}{4+\pi}}}{2}$$$$\small \phantom h=\frac{\frac{5(4+\pi)}{(4+\pi)}-\frac{(\pi+2)\cdot 5}{(4+\pi)}}{2}=\frac{(20+5\pi)-(10+5\pi)}{2(4+\pi)}=\frac{10}{2(4+\pi)}=\frac{5}{4+\pi}=r$$
Die Abmessungen des Kanals sind also:$$\boxed{r=h=\frac{5}{4+\pi}\approx0,7001}$$
