Aufgabe:
Drei Variablen, \( x, y \) und \( z \), erfüllen die Beziehung \((x-1)z^2 = yz-2xy\). In einem bestimmten Moment haben \( x \) und \( y \) beide den Wert 1. Wenn \( x \) in diesem Moment zunimmt, während \( y \) konstant bleibt, was kannst du über das Verhalten von \( z \) in diesem Moment entscheiden?
(A) \( z \) nimmt zu.
(B) \( z \) ändert sich nicht.
(C) \( z \) nimmt ab.
(D) Es ist nicht möglich, auf Grundlage dieser Informationen eine Schlussfolgerung zu ziehen.
Zuerst setze ich \( x = y = 1 \) in die Gleichung ein und erhalte \( z = 2 \) und packe alles auf eine Seite:
\((x-1)z^2 - yz + 2xy = 0\)
Nun kann ich den Satz von der impliziten Funktion anwenden, so dass:
\( \frac{{dz}}{{dx}} = -\frac{{\frac{{dF}}{{dx}}}}{{\frac{{dF}}{{dz}}}} = - \frac{{z^2 + 2y}}{{2xz - 2z - y}} \)
Jetzt noch \( x = y = 1 \) und \( z = 2 \):
\( \frac{dz}{dx} = - \frac{(2)^2 + 2 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 - 1} = - \frac{4 + 2}{4 - 4 - 1} = - \frac{6}{-1} = 6. \)
\( \frac{{dz}}{{dx}} = 6 > 0 \) also Antwort (A) \( z \) nimmt zu.
Ist dies korrekt?
