0 Daumen
791 Aufrufe

Aufgabe: Warum muss bei der Formel a^2 = 2b^2  b eine ungerade Zahl sein, sofern nur ganze Zahlen vorkommen?

Avatar von

Sei (a,b) eine ganzzahlige Lösung, dann gilt a² = 2b² also ist a² eine gerade Zahl, d.h. durch 2 teilbar. Da 2 eine Primzahl ist, ist auch a durch 2 teilbar. Somit kann man a=2A für ein geeignetes A schreiben.

Setzt man das in die Gleichung ein, erhält man

4A² = (2A)² = a² = 2b²

Es folgt 2A² = b², somit muss b² eine gerade Zahl sein. Analoge Argumentation wie oben liefert, dass b gerade ist. Warum sollte also b ungerade sein?

Wenn nur ganze Zahlen vorkommen, dann ist b ungerade, weil es nicht gerade sein kann und weil eine ganze Zahl immer entweder gerade oder ungerade ist.

Wenn nur ganze Zahlen vorkommen, dann ist b ungerade, weil es nicht gerade sein kann

a=b=0

2 Antworten

0 Daumen

Wenn b eine gerade Zahl wäre, würde b der Primfaktor 2 enthalten (einmal oder zweimal oder dreimal oder ...).

b² würde dann den Primfaktor 2 doppelt so oft enthalten, also zweimal oder viermal oder sechsmal ...

2*b² würde dann noch einen weiteren Faktor 2 enthalten. Er käme dann genau dreimal oder fünfmal oder siebenmal ...

vor. Dann kann das aber nicht gleich a² sein, denn a² enthält als Quadratzahl den Primfaktor zweimal oder viermal oder sechsmal ...

Avatar von 55 k 🚀

Wie kann man das formal aufschreiben?

Meine Idee wäre:

b= 2k-1, k ∈ℤ

a^2= 2*(2k-1)^2 = 8k^2-8k+2= 2

???

Wie ginge es weiter, wenn dieser Ansatz infrage kommt?


oder über den Widerspruch:

b ist gerade: b= 2k

a^2= 8k^2

k= ±a/√8 =± a/4*√2

???

Meine Idee wäre:

b= 2k-1, k ∈ℤ

a2= 2*(2k-1)2 = 8k2-8k+2= 2

???

Wie ginge es weiter, wenn dieser Ansatz infrage kommt?

Hallo ggT,

das hat eine kleine formale Schwäche.

b= 2k-1, k ∈ℤ

würde auch negative b erlauben, was man eigentlich von Beginn an ausschließen kann. Außerdem gilt 8k²-8k+2= 2 nur für k=0 und k=1.


Ansonsten ist dein Ansatz ganz praktisch.

8k²-8k+2 lässt sich als

4(2k²-2k)+2

schreiben, wobei dieser Term bei Teilung durch 4 den Rest 2 lässt.

So etwas tut aber keine seriöse Quadratzahl.

was man eigentlich von Beginn an ausschließen kann.

Es sollen aber ausdrücklich ganze Zahlen sein.

Also begänne dann hier schon der 1. Problem.

Da aber a² nichtnegativ ist, kann man negative b bei a² = 2b²· b schon von Beginn an ausschließen.

Aber b könnte negativ sein, ebenso a.

a und b könnten theoretisch negativ sein. Oder sehe ich das falsch?

0 Daumen

a^2 = 2b^2 hat als einzige ganzzahlige Lösung a=0 und b=0.

Für b≠0 wäre a/b=√2, aber √2 ist irrational, lässt sich also nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen.

-------

Falls es um den Beweis geht, dass √2 irrational ist:

Am Anfang wird vorausgesetzt, dass a/b ein vollständig gekürzter Bruch ist.

Sei a/b=√2. Daraus folgt a²=2b². a^2 ist also gerade, da es den Primfaktor 2 enthält. Wenn a² gerade ist, muss auch a gerade sein. Da a/b vollständig gekürzt ist, muss b ungerade sein. Wenn es gerade wäre, könnte a/b durch 2 gekürzt werden, was der Voraussetzung widerspricht.

:-)

Avatar von 47 k

a^2 = 2b^2

(a/b)^2 = 2

a/b = ±√2

b= ±a/√2 = ±a/2 * √2

-> b kann keine ganze Zahl sein außer b=0

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community