a^2 = 2b^2 hat als einzige ganzzahlige Lösung a=0 und b=0.
Für b≠0 wäre a/b=√2, aber √2 ist irrational, lässt sich also nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen.
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Falls es um den Beweis geht, dass √2 irrational ist:
Am Anfang wird vorausgesetzt, dass a/b ein vollständig gekürzter Bruch ist.
Sei a/b=√2. Daraus folgt a²=2b². a^2 ist also gerade, da es den Primfaktor 2 enthält. Wenn a² gerade ist, muss auch a gerade sein. Da a/b vollständig gekürzt ist, muss b ungerade sein. Wenn es gerade wäre, könnte a/b durch 2 gekürzt werden, was der Voraussetzung widerspricht.
:-)