Warum muss bei der Formel a^2 = 2b^2 b eine ungerade Zahl sein, sofern nur ganze Zahlen vorkommen?

Question

Aufgabe: Warum muss bei der Formel a^2 = 2b^2  b eine ungerade Zahl sein, sofern nur ganze Zahlen vorkommen?

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Sei (a,b) eine ganzzahlige Lösung, dann gilt a² = 2b² also ist a² eine gerade Zahl, d.h. durch 2 teilbar. Da 2 eine Primzahl ist, ist auch a durch 2 teilbar. Somit kann man a=2A für ein geeignetes A schreiben.

Setzt man das in die Gleichung ein, erhält man

4A² = (2A)² = a² = 2b²

Es folgt 2A² = b², somit muss b² eine gerade Zahl sein. Analoge Argumentation wie oben liefert, dass b gerade ist. Warum sollte also b ungerade sein?

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Wenn nur ganze Zahlen vorkommen, dann ist b ungerade, weil es nicht gerade sein kann und weil eine ganze Zahl immer entweder gerade oder ungerade ist.

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Wenn nur ganze Zahlen vorkommen, dann ist b ungerade, weil es nicht gerade sein kann

a=b=0

Answer 1

Wenn b eine gerade Zahl wäre, würde b der Primfaktor 2 enthalten (einmal oder zweimal oder dreimal oder ...).

b² würde dann den Primfaktor 2 doppelt so oft enthalten, also zweimal oder viermal oder sechsmal ...

2*b² würde dann noch einen weiteren Faktor 2 enthalten. Er käme dann genau dreimal oder fünfmal oder siebenmal ...

vor. Dann kann das aber nicht gleich a² sein, denn a² enthält als Quadratzahl den Primfaktor zweimal oder viermal oder sechsmal ...

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Wie kann man das formal aufschreiben?

Meine Idee wäre:

b= 2k-1, k ∈ℤ

a^2= 2*(2k-1)^2 = 8k^2-8k+2= 2

???

Wie ginge es weiter, wenn dieser Ansatz infrage kommt?

oder über den Widerspruch:

b ist gerade: b= 2k

a^2= 8k^2

k= ±a/√8 =± a/4*√2

???

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Meine Idee wäre:

b= 2k-1, k ∈ℤ

a2= 2*(2k-1)2 = 8k2-8k+2= 2

???

Wie ginge es weiter, wenn dieser Ansatz infrage kommt?

Hallo ggT,

das hat eine kleine formale Schwäche.

b= 2k-1, k ∈ℤ

würde auch negative b erlauben, was man eigentlich von Beginn an ausschließen kann. Außerdem gilt 8k²-8k+2= 2 nur für k=0 und k=1.

Ansonsten ist dein Ansatz ganz praktisch.

8k²-8k+2 lässt sich als

4(2k²-2k)+2

schreiben, wobei dieser Term bei Teilung durch 4 den Rest 2 lässt.

So etwas tut aber keine seriöse Quadratzahl.

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was man eigentlich von Beginn an ausschließen kann.

Es sollen aber ausdrücklich ganze Zahlen sein.

Also begänne dann hier schon der 1. Problem.

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Da aber a² nichtnegativ ist, kann man negative b bei a² = 2b²· b schon von Beginn an ausschließen.

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Aber b könnte negativ sein, ebenso a.

a und b könnten theoretisch negativ sein. Oder sehe ich das falsch?

Answer 2

a^2 = 2b^2 hat als einzige ganzzahlige Lösung a=0 und b=0.

Für b≠0 wäre a/b=√2, aber √2 ist irrational, lässt sich also nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen.

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Falls es um den Beweis geht, dass √2 irrational ist:

Am Anfang wird vorausgesetzt, dass a/b ein vollständig gekürzter Bruch ist.

Sei a/b=√2. Daraus folgt a²=2b². a^2 ist also gerade, da es den Primfaktor 2 enthält. Wenn a² gerade ist, muss auch a gerade sein. Da a/b vollständig gekürzt ist, muss b ungerade sein. Wenn es gerade wäre, könnte a/b durch 2 gekürzt werden, was der Voraussetzung widerspricht.

:-)

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a^2 = 2b^2

(a/b)^2 = 2

a/b = ±√2

b= ±a/√2 = ±a/2 * √2

-> b kann keine ganze Zahl sein außer b=0