Wie kann ich komplexe Potenzen lösen. Beispiel a^{5} · a^{-6}=

Question

Aufgabe:

a) \( a^{5} \cdot a^{-6}= \)

b) \( b^{10} \cdot b^{-7}= \)

c) \( \left(27 a^{-4} b^{7}\right):\left(54 a^{2} b^{-7}\right)= \)

d) \( \left(x^{-7}+20 x^{5} y-6 x^{-4} y^{2}\right):\left(2 x^{-3}\right)= \)

e) \( \left[(-b)^{-3}\right]^{-5}= \)

Problem/Ansatz:

a und b verstehe ich noch, aber kann mir jemand die anderen mit Lösungsweg vorrechnen?

Answer 1

Aloha :)

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert:$$a^5\cdot a^{-6}=a^{5-6}=a^{-1}=\frac1a$$$$b^{10}\cdot b^{-7}=b^{10-7}=b^3$$

Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt:$$\frac{27\pink{a^{-4}}b^7}{54a^2\color{blue}b^{-7}}=\frac{27{\color{blue}b^7}b^7}{54a^2\pink{a^4}}=\frac{b^{7+7}}{2a^{2+4}}=\frac{b^{14}}{2a^6}$$

$$\phantom=\frac{x^{-7}+20x^5y-6x^{-4}y^2}{2\pink{x^{-3}}}=\frac{\left(x^{-7}+20x^5y-6x^{-4}y^2\right)\pink{x^3}}{2}$$$$=\frac{x^{-7+3}+20x^{5+3}y-6x^{-4+3}y^2}{2}=\frac{x^{-4}+20x^8y-6x^{-1}y^2}{2}$$

Exponenten von Exponenten werden multipliziert:$$\left[(-b)^{-3}\right]^{-5}=(-b)^{(-3)\cdot(-5)}=(-b)^{15}=((-1)\cdot b)^{15}=(-1)^{15}\cdot b^{15}=-b^{15}$$

Comments

Vielen Dank dir :)

Answer 2

c)

$$(27a^{-4}b^7):(54a^2b^{-7}) = \frac{27}{54}a^{-4-2}b^{7-(-7)} = \frac{1}{2}a^{-6}b^{14} = \frac{b^{14}}{2a^6}$$

d)

$$(x^{-7} + 20x^5y - 6x^{-4}y^2) :(2x^{-3}) = \frac{1}{2}x^{-4} + 10x^8y - 3x^{-1}y^2$$

e)

$$((-b)^{-3})^{-5} = (-b)^{15} = -b^{15}$$

Answer 3

Potenzgesetze anwenden:

a) a^5*a^-6 = a^(5-6) = a^-1 = 1/a

b) analog

c) Verwende: a^b/a^c = a^(b-c)  bzw. a^-b/a^-c = a^(-b+c)

d) summandenweise ausdividieren

e) Verwende: (a^b)^c = a^(b*c) bzw: (a^-b)^-c = a^(b*c)

(-a)^-b = (-1)^b*a^b