Welche Aussage über die Funktion f ist korrekt?

Question

Aufgabe:

Bezeichnen wir mit \( S \) eine Teilmenge von \( \mathbb{R}^2 \), die die offene Scheibe mit Mittelpunkt \((0,0)\) und Radius \( \pi \) ist. Welche Aussage über die Funktion \( f: S \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x^2\cos(y^2) \) ist korrekt?

A) \(f\) hat genau 1 lokales Minimum

B) \(f\) hat genau 4 lokale Minima

B) \(f\) hat genau 5 lokale Minima

B) \(f\) hat genau 7 lokale Minima

Problem/Ansatz:

Ist dies ein Optimierungsproblem mit Bedingungen (also mit Lagrange)? Und die Bedingung wäre dann \(x^{2} + y^{2} = \pi^{2}\) ?

Comments

Sorry, hab ein Fehler beim abschreiben gemacht. Die Funktion sollte sein: \( f: S \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x^2+\cos(y^2) \)

Versuche jetzt den Hinweis von abakus.

Answer 1

Kannst du nicht einfach mal mit dem partiellen Ableitungsgedöns alle kritischen Stellen herausfinden und anschließend diejenigen aussortieren, die nicht in der Kreisscheibe liegen?

Die verbleibenden Möglichkeiten kannst du Hesse zum Fraß vorwerfen.

Comments

Habe oben ein Fehler in der Funktion gemacht. Sollte \( f: S \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x^2+\cos(y^2) \) sein.

Kritische Punkte finden:

\( \begin{array}{rl} 2x & = 0 \\ -2y\sin(y^2) & = 0 \end{array}\)

also haben wir x = 0; y = 0; \(y^{2} = k\pi \) (k ∈ ℤ)

Und die müssen in der Kreisscheibe liegen: \(x^{2} + y^{2} < \pi^{2} \)

\(0 + k\pi < \pi^{2} \)

\(k < \pi\)

Also haben wir \((0,0), (0, \pm\sqrt{\pi}), (0, \pm\sqrt{2\pi}), (0, \pm\sqrt{3\pi}) \)

Hessian:

\(H(f) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2\sin(y^2) - 4y^2\cos(y^2) \end{pmatrix}\)

Damit finde ich dann in \((0, \pm\sqrt{\pi})\) und \((0, \pm\sqrt{3\pi}) \) Minima.

Antwort B) f hat genau 4 lokale Minima.

Answer 2

Versuche jetzt den Hinweis von abakus.

Wenn du das hast, kannst du ja mal mit dem Ergebnis von meinem Freund Wolfram vergleichen.

Comments

Hallo, genau das habe ich gerade auch gefunden! Vielen Dank!

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Prima. Sehr gut gemacht.