Aufgabe:
Minimieren Sie folgende Funktion f unter der Bedingung g:
\( x, y, z \geq \frac{1}{10} \)
\( f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{4}{z} \)
\( g(x, y, z)=x+y+z \leq 12 \)
Ich hab die Lagrange-Funktion aufgestellt, aufgelöst, und bin zu dem folgenden kritischen Punkt gekommen (lambda=1/4):
\( x=2 \quad y=6 \quad z=4 \).
Schön und gut, jetzt will nur noch begründet werden, ob dieser Punkt ein Minimum oder ein Maximum sei. Und jetzt bin ich ins Wanken gekommen, denn ich erhalte mit dem "Satz von Min und Max" und dem "Determinantenkriterium der geränderten Hesse-Matrix" unterschiedliche Ergebnisse.
Satz von Min und Max: Da f(x) nur auf einem abgeschlossenen und beschränkten Bereich definiert ist, muss f(x) auf diesem Bereich ein Minimum und ein Maximum annehmen. Dafür kämen nur Randwerte und kritische Punkte infrage. Da alle Randwerte größer dem Funktionswert des kritischen Punktes sind, muss der kritische Punkt das globale Minimum sein. (leuchtet ein, der Punkt ist ein globales Minimum)
Jedoch erhalte ich bei einer mathematischen Überprüfung mithilfe der geränderten Hessematrix ein anderes Ergebnis:
\( H_{L}=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 x^{-3} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -18 y^{-3} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -8 z^{-3}\end{array}\right) \)
bei k=1 Bedingungen müssen alle Hauptminoren (Hauptunterdeterminanten, "HUD") bis auf die ersten 2*k=2 Minoren gebildet werden. (Also alle die dritte und vierte HUD) In diese habe ich den kritischen Punkt eingesetzt.
\( I I I . H U D=\frac{1}{3}>0 \)
\( I V \cdot H U D=\frac{-103}{1728}<0 \)
Bei drei Variablen und einer Nebenbedingung ist jedoch die Tatsache, dass die 3.HUD positiv ist und die 4.HUD negativ, ein eindeutiger Hinweis auf ein Maximum, was dem Satz von Min und Max (und dem Einsetzen zulässiger Werte ebenso) widerspräche. Oder irre ich mich?
Womöglich sind mir bei der ersten Ableitung für den Gradienten die Vorzeichen abhanden gekommen. Das verändert natürlich alles, und dreht das nachgewiesene Maximum in ein Minimum...
