Wo scheidet die Tangente die x-Achse?

Question

Gegeben ist die Ortslinie der Schnittpunkte der Geraden mit den Gleichungen y=k und y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x Für 0≤k≤1. Wo scheidet die Tangente an diese Ortslinie für k→1 die x-Achse?

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Nach 96 Aufrufen ohne Lösung hier eine Lösungshilfe:

https://www.mathelounge.de/531835/artikel-zwei-klassische-probleme-zeitgenossische-losung       

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Bevor du weiter um Lösungen bettelst:

Die x-Koordinate des von k abhängigen Schnittpunkts bekommt man, indem man die beiden Gleichungen y=k und y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x gleichsetzt.

Es ergibt sich für x die Lösung \(x=\frac{k}{tan \frac{kπ}{2} }\).

Wegen y=k kann man das als \(x=\frac{y}{tan \frac{kπ}{2} }\) schreiben. Die Ortsliniengleichung erhält man, wenn man das nach y umstellt:

Man erhält -welch Wunder- wieder die Gleichung y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x für die "Ortslinie".

Das Ortsliniengedöns diente nur zur Verwirrung und war völlig überflüssig. Du hättest auch gleich schreiben können:

Auf dem Graphen liegt ein Punkt mit der y-Koordinate 1. Wo schneidet die Tangente in diesem Punkt die x-Achse?

Answer 1

Gegeben ist die Ortslinie der Schnittpunkte der Geraden mit den Gleichungen \(y=k\) und \(y=tan( \frac{kπ}{2} )*x\) Für 0≤k≤1. Wo scheidet die Tangente an diese Ortslinie für \(k=1\)  die x-Achse?

\(y=tan( \frac{1*π}{2} )*x\)

\(tan( \frac{1*π}{2} )*x=0\)

Kein Schnittpunkt, da \(tan( \frac{1*π}{2} ) \)gegen ∞ geht.

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Moliets, es geht nicht um y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x sondern um eine Ortslinie der Schnittpunkte zweier Geraden mit Scharparameter k, von denen eine die Gleichung y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x hat.

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Kein Schnittpunkt, da \(tan( \frac{1*π}{2} ) \)gegen ∞ geht.

Das ist zwar etwas schlampig aufgeschrieben aber im Prinzip richtig.

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hj2166: Es geht nicht um y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x sondern um eine Ortslinie der Schnittpunkte zweier Geraden mit Scharparameter k, von denen eine die Gleichung y=tan(\( \frac{kπ}{2} \))·x hat.

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Roland :
M hat Recht, denn deine Forderung  Ortslinie für k=1 ist absurd, weil tan(kπ/2) für k=1 überhaupt nicht existiert, wie M erkannte. Und wo das nicht existiert existiert auch keine Tangente und wo die nicht existiert, existiert eben auch kein Schnittpunkt.

Ich hoffe, dass deine nächste Version der Aufgabe fehlerfrei sein wird.

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... weil tan(kπ/2) für k=1 überhaupt nicht existiert, wie M erkannte.

wohl war. Nichtsdestotrotz lautet die Ortskurve \(\gamma\) des Schnittpunkts der beiden Geraden für das Intervall \(k\in]0\dots1[\) $$\gamma(k) =\begin{pmatrix} k\cot\left(\frac{\pi}{2}k\right)\\k \end{pmatrix}$$Vergisst man dann mal die Herkunft dieser Kurve (was schert mich diese!), so existiert die Kurve für \(k=1\) sehr wohl. Oder etwa nicht?

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Nichtsdestotrotz lautet die Ortskurve \(\gamma\) des Schnittpunkts der beiden Geraden für das Intervall \(k\in]0\dots1[\)

so existiert die Kurve für \(k=1\) sehr wohl. Oder etwa nicht?

Ist das kein Widerspruch?

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Du zitierst mich zwar, aber ich fasse deinen Beitrag als an R.s Adresse gerichtet - nämlich mit der Antwort auf meine Forderung nach einer fehlerfreien Version - auf.

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Um die Diskussion in dieser Sache abzuschließen, habe ich den Aufgabentext marginal abgewandelt (= durch → ersetzt).

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Ist das kein Widerspruch?

Nicht, wenn man den Teil, den Du nicht zitiert hast, wieder einfügst. Die Stelle \(k=1\) ist ja IMHO eine stetig hebbare Definitionslücke. Zumindest was die Ortslinie selbst angeht!

Vorschlag für einen alternativen Aufgabentext:

Gegeben ist die Ortslinie der Schnittpunkte der Geraden mit den Gleichungen$$y = k\\ g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{k \pi}{2}\right) \\ \sin\left(\frac{k \pi}{2}\right)\end{pmatrix}\lambda $$Für \(0 \lt k \lt 2\).

Wo schneidet die Tangente an diese Ortslinie für \(k=1\) die x-Achse?

Und das entspricht ja auch mehr der ursprünglichen Idee des Hippias von Elis.

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Ich habe einige Punkte der Ortslinie eingezeichnet. Bei \(y=1\)  und \(y=tan(\frac{π}{2})*x \) hat es keinen Ortspunkt, wie zu erwarten war, gegeben.

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Roland hatte die Aufgabe vor deinem Beitrag stillschweigend etwas korrigiert.

Answer 2

Hier nur mal eine Skizze von mir.

Comments

Mathecoach, deine Skizze ist sehr gut. Ich habe eine entsprechende Skizze gemacht:

Gesucht ist der grüne Punkt auf der roten Tangente an die schwarze Ortslinie

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Gesucht ist der grüne Punkt auf der roten Tangente an die schwarze Ortslinie

Das war mir klar und ich kenne auch den Punkt. Ich wollte zunächst nur denjenigen aushelfen, die mit dem Verständnis der Aufgabe Probleme hatten.

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Mathecoach: Sicher hilft deine Skizze denjenigen, die mit dem Verständnis der Aufgabe Probleme hatten. Allerdings enthält deine Skizze einige Informationen die für das Verständnis der Aufgabe entbehrlich sind. Das ist bei meiner Skizze - wie ich meine - nicht der Fall. Du kennst den Punkt, um den es hier geht - kennst du auch den Lösungsweg?

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Ja. Ich kenne auch den Lösungsweg. Aber hast du die Einwände kapiert. Z.B. den, dass der Tangentenberührpunkt (0 | 1) eben nicht existiert?

Du solltest also auch die Aufgabenstellung überarbeiten, sodass Kritiker das nicht mehr kritisieren können.

Zum vorgehen. Wir haben die Schnittpunkte zweier linearer Funktionen, die von einem Parameter k abhängen.

Diese Kurve kann man parametrisiert angeben und auch die Steigung an beliebigen Stellen bilden. Genau das habe ich gemacht und kann daher auch die Tangente exakt angeben und die Nullstelle berechnen.

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Diese Kurve kann man parametrisiert angeben und auch die Steigung an beliebigen Stellen bilden. Genau das habe ich gemacht und kann daher auch die Tangente exakt angeben und die Nullstelle berechnen.

Im Augenblick ist mir das noch sehr rätselhaft.

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Was davon ist dir genau rätselhaft? Dann kann ich sicher Licht ins dunkle bringen.

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Wie kann die Tangente bestimmt werden, wenn der Punkt \(P(0|1)\) (siehe meine Zeichnung einiger Ortspunkte) nicht definiert werden kann?

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Wie kann die Tangente bestimmt werden, wenn der Punkt \(P(0|1)\) (siehe meine Zeichnung einiger Ortspunkte) nicht definiert werden kann?

entweder indem man die hebbare Definitionslücke schließt (dazu definiert man eine Geradenschar \(g_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\))$$g_{k}:\begin{cases} y = \tan\left(\frac{\pi k}{2}\right)& k\lt 1 \\ x=0 &k=1\end{cases}$$

oder (siehe mein letzter Kommentar unter Deiner Antwort) die Aufgabenstellung etwas umstellt.

Dass \(\tan\left(\frac{\pi}{2}k\right)\) für \(k=1\) nicht definiert ist, da sind wir uns ja alle einig. Also tausche die Funktion \(y=\tan\left(\frac{\pi}{2}k\right)x\) gegen die Parameterdarstellung der gleichen Gerade aus:$$ g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{k \pi}{2}\right) \\ \sin\left(\frac{k \pi}{2}\right)\end{pmatrix}\lambda \quad\quad 0 \lt k \lt 2$$und das Problem, dessen Diskussion hier mit Sicherheit nicht die Motivation von Roland war, als er die Aufgabe gestellt hat, ist keines mehr!