Wo schneidet t die beiden Koordinatenachsen? (Funktionen, Tangente, Ableitung)

Question

Aufgabe:

Im Punkt P(3/..) des Graphen von f(x)=x²-x+4 wird die Tangente t an den Graphen gelegt. Wo schneidet t die beiden Koordinatenachsen?

Problem/Ansatz:

Weiss nicht wie ich hier starten soll. Kann mir jemand Schritte erklären. Muss ich 3 für x einsetzen??

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=x^2-x+4\quad;\quad f'(x)=2x-1$$Zur Bestimmung der Tangente an die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0=3\) brauchen wir den Funktionswert und die Abeltung an dieser Stelle:$$f(3)=10\quad;\quad f'(3)=5$$Die Tangentengleichung lautet damit:$$y(x)=f(3)+f'(3)\cdot(x-3)=10+5\cdot(x-3)=5x-5$$Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \((1|0)\) und die \(y\)-Achse im Punkt \((0|-5)\).

~plot~ x^2-x+4;5x-5;{1|0};{0|-5};{3|10};[[-1|6|-6|15]] ~plot~

Comments

danke SEHR!

kurze Frage: Die tangentengleichung ist mir etwas unklar. Wie kommen wir auf (x-3)?

---

Es gibt eine allgmeine Formel für eine Tangente im Punkt \(x_0\) an die Funktion \(f\). Diese lautet:$$y(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Die habe ich verwendet. Wenn du diese Formel nicht kennst, kannst du dir die Tangente wie folgt zusammenstellen.

Die Tangente berührt die Funktion im Punkt \((3|10)\). Die Steigung der Tangenten ist \(m=f'(3)=5\). Wir können daher die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung ansetzen:

$$m=\frac{y-y_0}{x-x_0}\implies5=\frac{y-10}{x-3}\implies5(x-3)=y-10\implies$$$$y=5(x-3)+10=5x-15+10=5x-5$$

Answer 2

Du suchst die Gleichung einer Geraden durch den Punkt P(3, f(3)) und mit der Steigung f '(3).

Answer 3

Im Punkt P(3/..) des Graphen von f(x)=x²-x+4 wird die Tangente t an den Graphen gelegt. Wo schneidet t die beiden Koordinatenachsen.

P(3|10)

Weg ohne Ableitung, falls diese noch nicht bekannt ist:

Geradenbüschel durch P(3|10):

\( \frac{y-10}{x-3} \)=m

y=mx-3m+10   → Schnitt mit Parabel:

x²-x+4=mx-3m+10

x^2-x(m+1)=6-3m

(x-\( \frac{m+1}{2} \))^2=6-3m+(\( \frac{m+1}{2} \))^2|\( \sqrt{} \)

Diskriminante =0

6-3m+(\( \frac{m+1}{2} \))^2=0

m=5

y=5x-5

Schnittpunkt  x-Achse: N(1|0)

Schnittpunkt y-Achse: P(0|-5)

Achsenabschnittsform der Tangente:

\( \frac{x}{1} \)-\( \frac{y}{5} \)=1

Answer 4

Im Punkt P(3/..) des Graphen von f(x)=x²-x+4 wird die Tangente t an den Graphen gelegt. Wo schneidet t die beiden Koordinatenachsen?

x = 3
f ´( x ) = 2x - 1
Steigung
f ´ ( 3 ) = 5

y-Wert bei x = 3
f ( 3 ) = 3^2 - 3 + 4
f ( 3 ) = 10

Tangente = Geradengleichung
t ( x ) = m * x + b
t ( 3 ) = 5 * 3 + b = 10
b = -5
t ( x ) = 5 * x - 5
-5 ist auch der Schnittpunkt mit der y-Achse
( 0 | -5 )
Schnittpunkt mit der x-Achse
t ( x ) = 0
t ( x ) = 5 * x - 5 = 0
x = 1
( 1 | 0 )