Basis Transformation invertierbare Matrix

Question

Aufgabe:

Sei n in ℕ+ und A eine invertierbare Matrix der Größe nxn über die reellen Zahlen. Sei weiterhin B eine endliche Basis von ℝⁿ. Es gilt zu zeigen, dass {Ab | b in B} ebenfalls eine Basis von ℝⁿ ist.

Problem/Ansatz:

Es gilt zu zeigen, dass alle Vektoren in der Menge linear unabhängig sind und weiterhin der gesamte Raum aufgespannt wird. Ich weiß leider nicht, wie man beides formal zeigt.

Comments

Die Aussage kann nicht stimmen. Wähle für A z.B. die Nullmatrix.

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Erstens das, und zweitens: Was ist denn eine "endliche" Basis?

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Verzeihung - ich meinte invertierbar, nicht symmetrisch. Und eine endliche basis ist eine Basis, welche aus endlich vielen Vektoren besteht.

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Ok. Merkwürdig, dass man "endliche Basis" sagt - unendliche gibt es in diesem Fall ja gar nicht.

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Eine Basis des ℝⁿ besteht immer aus genau n (und damit endlich vielen) Elementen.

Answer 1

Wenn B eine Basis für ℝⁿ ist, dann enthält B genau n Elemente

b1, ... , bn und diese sind linear unabhängig.

Dann sind A*b1, ... , A*bn auch linear unabhängig, denn

seien x1, ..., xn ∈ℝ mit

\(  \sum \limits _{i=1}^n (x_i \cdot (A\cdot b_i) ) = 0\)    #

==> \(  \sum \limits _{i=1}^n (A\cdot x_i \cdot b_i ) = 0\)

==> \( A \cdot \sum \limits _{i=1}^n (x_i \cdot b_i ) = 0\)

Da A invertierbar ist, ist Kern(A) nur der Nullvektor, also

     \(   \sum \limits _{i=1}^n (x_i \cdot b_i ) = 0\)

und weil die b_i linear unabhängig sind folgt

         x1 = x2 = ... = xn = 0.

Somit folgt aus dem Ansatz # , das alle x_i gleich 0 sind,

also sind die Ab₁, ... , Ab_n linear unabhängig und je n

linear unabhängige Elemente von ℝⁿ bilden eine Basis. q.e.d.