Bestimmen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

Question

Aufgabe:

1. Ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang 120 m soll so gewählt werden, dass der Flächenin- halt maximal ist. Bestimmen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

2. Ein Rechteck besitzt eine Fläche von 120 cm². Bestimmen Sie das Rechteck mit der kleinsten Dia- gonallänge d.

Problem/Ansatz:

kann mir jemanden bitte helfen wie es geht

Comments

Der Vollständigkeit halber: Die erste Frage kam schon mindestens zweimal in diesem Forum.

https://www.mathelounge.de/182229/

https://www.mathelounge.de/324705/

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Vom Duplikat:

Titel: Optimierung extrem stellen

Stichworte: flächeninhalt,seitenlängen

Aufgabe:

…

1. Ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang 120 m soll so gewählt werden, dass der Flächenin- halt maximal ist. Bestimmen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt.



2. Ein Rechteck besitzt eine Fläche von 120 cm². Bestimmen Sie das Rechteck mit der kleinsten Dia- gonallänge d.


Problem/Ansatz:

kann mir jemanden bitte helfen wie es geht

Answer 1

1) Verwende den Satz des Heron, um A zu maximieren.

2) Verwende den Satz des Pythagoras, um d zu minimieren.

Comments

1)

\(\displaystyle A=  \sqrt{\frac{120}{2} \cdot \left(\frac{120}{2}-a\right) \cdot \left(\frac{120}{2}-a\right) \cdot \left(\frac{120}{2} - (120-2a) \right)} \)

a ist hier die Länge der gleichschenkligen Schenkel.

Ich komme auf ein Maximum bei a = 40.

2)

\(\displaystyle d= \sqrt{a^2 + \left(\frac{120}{a}\right)^2} \)

a ist hier eine Seitenlänge des Rechtecks.

Ich komme auf ein Minimum bei a = \( \sqrt{120} \) also ein Quadrat.

Und auf was kommst Du?

Answer 2

1. Ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang 120 m soll so gewählt werden, dass der Flächenin- halt maximal ist. Bestimmen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

U= 2a+b= 120

b= 120-2a

A= 0,25*b*√(4a^2-b^2)

A(b) = 0,25*(120-2a)*√(4a^2- 14400+480a+4a^2) = (120-2a)*√(8a^2- 14400+480a)

A'(b) = 0

https://www.wolframalpha.com/input?i=+maximize+0.25*b*%E2%88%9A%284a%5E2-b%5E2%29+with+b%3D+120-2a

2. Ein Rechteck besitzt eine Fläche von 120 cm². Bestimmen Sie das Rechteck mit der kleinsten Diagonallänge d.

A= a*b = 120

b= 120/a

d^2 = a^2+b^2 = a^2+ 14400/a^2

d= √(a^2+ 14400/a^2)

d' = 0

a= 2*√30

https://www.wolframalpha.com/input?i=derive+%28a%5E2%2B14400%2Fa%5E2%29%5E0.5+%3D0

einfacher:

a^2+ 14400/a^2 ableiten, Null setzen, aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen

Comments

Bei Aufgabe1 warum hast du für h

√(4a2-b2) eingesetzt

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warum hast du für h √(4a²-b²) eingesetzt

Pythagoras im gelb markiertem Dreieck:

Answer 3

2. Ein Rechteck besitzt eine Fläche von 120 cm². Bestimmen Sie das Rechteck mit der kleinsten Diagonallänge d.

Zielfunktion:

\(d(a,b)=\sqrt{a^2+b^2} \) soll minimal werden:

HB:

\(120=a*b\) Nach b auflösen und in die Zielfunktion einsetzen.

\(d´(a)=....=0 \)      \(a=... \)          \(b=... \)      \(d=... \)

1. Ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang 120 m soll so gewählt werden, dass der Flächeninhalt maximal ist. Bestimmen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

Zielfunktion:

\(A= \frac{1}{2}*c*h \)   wobei c die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ist

HB:

\(120=2*a+c\)  wobei a ein Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks ist.

Es gilt auch noch \(h^2+ (\frac{c}{2})^2=a^2 \)