Eigenschaften ganzrationaler Fkt

Question

ja Gegeben ist der Graph einer Ableitungsfunktion f' (siehe Bild).

Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch?
a) f hat im abgebildeten Bereich zwei Extremstellen.
b) Die zweite Ableitung von f hat zwei Nullstellen.
c) Es gilt f" (0) > 0.
d) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Hochpunkt.

Answer 1

Aloha :)

zu a) An einer Extremstelle ist die Ableitung null und ändert ihr Vorzeichen. Hier hat die Ableitung zwei Nullstellen, eine bei \(x=0\) und eine bei \(x=2\), aber nur bei \(x=0\) wechselt sie ihr Vorzeichen. Die Funktion \(f\) hat also nur ein Extremum im dargestellten Bereich.

zu b) Die zweite Ableitung gibt die Steigung der ersten Ableitung an. Wir erkennen in der Abbildung zwei Punkte mit der Steigung \(0\), einer bei \(x\approx0,7\) und einer bei \(x=2\). Daher hat die zweite Ableitung tatsächlich 2 Nullstellen.

zu c) Die zweite Ableitung gibt die Steitung der ersten Ableitung an. An der Stelle \(x=0\) steigt die erste Ableitung weiter an, also ist tatsächlich \(f''(0)>0\).

zu d) Nein, denn an einem Hochpunkt müsste ja die zweite Ableitung \(f''(0)<0\) sein. Sie ist jedoch nach (c) positiv.

Comments

Was meinst du damit, dass sie nur bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt? Das Vorzeichen ist doch nach wie vor +

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Und noch eine Frage zu b bzw. generell

Ist bei x = 2 ein TP UND eine Nullstelle? Oder ist es nur eine Nullstelle, wenn der Graph geschnitten wird?

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Und wieso hat sie bei 0 keinen HP? Ist doch zur Nullstelle geworden

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Für \(x<0\) verläuft die Kurve unterhalb der x-Achse, also im negativen Bereich. Für \(x>0\) verläuft die Kuver oberhalb der x-Achse, also im postitiven Bereich. Die Ableitung wechselt also ihr Vorzeichen von Minus nach Plus. Für \(x<0\) fällt daher die Funktion ab und für \(x>0\) steigt die Funktion an. Daher ist bei \(x=0\) ein Minimum.

Bei \(x=2\) liegt eine Nullstelle der ersten Ableitung vor. Davor \(x<2\) verläuft die Ableitung im positiven Bereich (oberhalb der x-Achse) und dahinter \(x>2\) auch. Die Funktion steigt also vor \(x=2\) an und steigt nach \(x=2\) weiter an. Daher liegt dort kein Extremum vor.

Answer 2

a) Bei einer Extremstelle einer Funktion ist die erste Ableitung gleich null
b) Die zweite Ableitung ist gleich null, wenn die erste Ableitung eine Extremstelle hat.
c) Die zweite Ableitung ist größer als null, wenn der Graph der ersten Ableitung eine positive Steigung hat.
d) Wenn der Graph einer Funktion einen Hochpunkt hat, dann ist die erste Ableitung links davon positiv und rechts davon negativ.

Answer 3

\(f'\) hat in x=0 eine einfache Nullstelle und in \(x=2\) eine zweifache Nullstelle,

wenn man voraussetzt, dass \(f'\) ein Polynom vom Grad \(\leq 3\) ist, d.h.

\(f'(x)=ax(x-2)^2\) und wegen \(f'(1)=1\) ist

\(f'(x)=x(x-2)^2=x^3-4x^2+4x\), also muss sich \(f\) so verhalten

wie eine Stammfkt. von \(x(x-2)^2\), was die fraglichen Aussagen betrifft.