Mathematik - Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (Abstandsberechnung)

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte die Aufgabe erklären.

a) Der Abstand der Punkte der Punkte A und B wird maximal bzw. minimal, wenn AB² (die Aufgabe bezieht sich auf den Satz des Pythagoras - AB ist die Hypotenuse) maximal bzw. minimal wird. Begründen Sie den Zusammenhang.

b) Berechnen Sie, von welchem Punkt des Graphen von f der Punkt Q den kleinsten Abstand hat?

f (x) = -x² + 4; Q (0|0)

Vielen Dank - einen wirklichen Ansatz habe ich nicht.

Answer 1

b.)
Am Besten du machst dir eine Skizze

Ein rechtwinkliges Dreieck
Kathete x
Andere Kathete f ( x ) = -x^2 + 4
Hypotenuse = x^2 + f ( x ) ^2
x^2 + ( -x^2 + 4 )^2
x^2 + (  x^4 - 8x^2 + 16 )
x^4 - 7x^2 + 16
Extremwert : 1.Ableitung = 0
4*x^3 - 14x = 0
Satz vom Nullprodukt
x * ( 4x^2 - 14 ) = 0
x = 0
und 4x^2 - 14 = 0
x = ± √ ( 14/4)
x = + 1.871
x = - 1.871
Einsetzen
f ( 1.871 ) = 0.249
( 1.871 | 0.249 )
Hypotenuse = Abstand
c^2 = 1.871 ^2 + 0.249^2

c^2 = 0.271
c = 0.4659

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Okay, herzlichen Dank.

Aber wie kommen Sie auf die 0,249 - sofern ich 1,8708 einsetze, bekomme ich 0,5 heraus?

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Stimmt
( 1.8708 | 0.5 )

Hypotenuse = Abstand
c^2 = 1.8708 ^2 + 0.5 ^2

c^2 = 3.75
c = 1.936

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Alles klar, vielen Dank!

Answer 2

P= (u|f(u))

u^2+ (f(u))^2 → maximieren

u^2 +(-u^2+4)^2 → max.

u^2 +u^4-8u^2+16 = u^4-7u^2+16 -->max.

--> 4u^3-14u = 0

u(4u^2-14) = 0

u1=0

4u^2=14

u = +-√14/4

Comments

Okay, danke.

Inwiefern bist du jetzt aber auf das Ergebnis gekommen - und vor allem, von welchem Punkt hat denn f nun den geringsten Abstand?

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Das Ergebnis konnte ich nun nachvollziehen - jedoch kann ich nicht verstehen, wie ich auf y beziehungsweise x kommen soll.

Ich bilde nun die zweite Ableitung und berechne, ob dort ein Hoch- bzw. Tiefpunkt vorliegt (sollte ich nicht falsch liegen, liegt das Ergebnis bei 1,08012 > 0 - ein Tiefpunkt liegt vor).

Und wie gehe ich nun fort?