Bestimmen Sie die Ortslinie der Tiefpunkte Funktionsschar

Question

Hallo Leute,

Ich benötige eure Hilfe bei der Aufgabe 4.

Aufgabenteil A erklärt sich von selbst, nur fehlt mir der Ansatz bei b,c,e und f.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir diesen anschaulich erklären, oder sogar vorrechnen könntet.

Vielen Dank schonmal

Text erkannt:

4. Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) mit \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}}=-\frac{1}{k^{2}} x^{3}+x, k \in \mathrm{R} \)
a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und skizzieren Sie die Graphen von \( f_{1}, f_{2} \quad f \) und \( \mathrm{f}_{3} \) an Hand ihrer Ergebnisse.
b) Bestimmen Sie die Ortslinie der Tiefpunkte (zum Vergleich: \( \mathrm{x}_{\mathrm{TP}}=\frac{-k}{\sqrt{3}} \) ).
t c) Die Tangente an den Tiefpunkt, der Graph und die x- Achse schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt in Abhängigkeit von k.
d) Begründen sie, dass die Gerade \( y=x \) nicht zur Funktionenschar \( f_{k} \) gehört, jedoch als Grenzfall der Schar aufgefasst werden kann.
e) Die Tangente an die positive Nullstelle (zum Vergleich: \( \mathrm{x}_{\mathrm{N}}=\mathrm{k} \) ), die Gerade \( y=x \) und die \( \mathrm{x} \)-Achse bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt \( \mathrm{A}(\mathrm{k}) \) in Abhängigkeit von \( \mathrm{k} \).
f) Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Parametern \( \mathrm{k}_{1} \) und \( \mathrm{k}_{2} \), wenn der Flächeninhalt des Dreiecks (zum Vergleich: \( \mathrm{A}(\mathrm{k})=\frac{5}{27} k^{2} \) ) \( \frac{1}{135} \) des Flächeninhaltes der Fläche, die vom Graphen und der positiven x-Achse eingeschlossen wird, ist?
Viel Erfolg

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Answer 1

Die x-Werte der Tiefpunkte hast du ja.

y-Wert durch Einsetzen

\(  f_k(x_{TP}) = \frac{-1}{k^2}\cdot (\frac{-k}{\sqrt{3}})^3+ \frac{-k}{\sqrt{3}}  = \frac{-2k}{3\sqrt{3}}\)

mit \(  x_{TP} =  \frac{-k}{\sqrt{3}}  \)   und   \(  y_{TP} =  \frac{-2k}{3\sqrt{3}}  \)

bekommst du -k=x√3 und einsetzen in   \(  y_{TP} =  \frac{-2k}{3\sqrt{3}}  \)

ergibt   \(  y_{TP} =  \frac{-2x_{TP}\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}  \)

also \(  y =  \frac{-2}{3}x \) für die Ortslinie.

Comments

Es tut mir leid, aber ich verstehe gar nicht wie sie auf diese Herleitung kommen ?

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\(x=-\frac{k}{\sqrt{3}}\)

Diese Gleichung löst du nach k auf: \(k=-\sqrt{3}x\)

Die y-Koordinate des Tiefpunktes bestimmst du, indem du die x-Koordinate in die Ausgangsgleichung einsetzt:

\(y=-\frac{1}{k^2}\cdot \bigg( -\frac{k}{\sqrt{3}}\bigg)^3-\frac{k}{\sqrt{3}}=-\frac{2k}{3\sqrt{3}}\)

Jetzt setzt du für k den Ausdruck aus der 2. Zeile ein:

\(y=-\frac{2\cdot (-\sqrt{3}x)}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}x\)

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Alles klar, vielen Dank. Das versteh über ich jetzt. Hätten sie noch eine Idee für c) bzw. e) ?

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Meine Idee für e)

Stelle die Gleichung der Tangente an der positiven Nullstelle auf:

t(x) = mx + n

m = Steigung = 1. Ableitung

Bilde also die 1. Ableitung von a ⇒ m = -2

Setze die Koordinaten der Nullstelle in die Gleichung ein, um n zu bestimmen, oder wende die Punktsteigungsformel an.

\(0=-2\cdot a + n\\ n=2a\)

Damit lautet die Gleichung der Tangente t(x) = -2x + 2a

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks: \(A=\frac{g\cdot h}{2}\)

Hier ist g = a und h ist?

Zur Veranschaulichung hier das Dreieck für a = 3:

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Alles klar, also h errechne ich indem ich x = -2x+ 2a rechne und dann nach x auflöse ?

Aber das versteh ich schonmal, vielen Dank für die Mühe.