Funktionenschar f_(k)(x) = x^4 - kx^2 , k € R. u.a. Ortslinie für Tiefpunkte.

Question

9 Gegeben sind die Funktionen \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=x^{4}-k x^{2}, k \in \mathbb{R} \).

a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen \( f_{k} \) auf Extrem- und Wendepunkte. Skizzieren Sie den Graphen für \( \mathrm{k}=-2 \) und für \( \mathrm{k}=2 \).
b) Bestimmen Sie die Ortslinie für die Tiefpunkte aller Funktionsgraphen.
c) Es sind \( x_{e} \neq 0 \) eine Extremstelle und \( x_{w} \) eine Wendestelle von \( f_{k} \) für \( k>0 \). Zeigen Sie: Das Verhältnis \( \frac{x_{e}}{x_{w}} \) hängt nicht von \( k \) ab. Was bedeutet diese Aussage?

Comments

könnt ihr mir bitte helfen?

Answer 1

Zur Ortslinie der Tiefpunkte

fk(x) = x^4 - kx^2

fk'(x) = 4x^3 - 2kx 

=4x(x^2 - k/2)

x1 = 0     

x2 = ± √(k/2) 

Nun musst du noch überlegen, wo die Tiefstellen liegen. 

Das solltest du eigentlich aus den Skizzen schon wissen. 

Skizze:

 ~plot~ x^4 - 2x^2; x^4 + 2x^2; x^4 - x^2; x^4 + x^2~plot~

Für k>0 liegen die Tiefstellen neben dem Koordinatenursprung; für k≤ 0 im Koordinatenursprung. 

Comments

Fall k>0.

x² - k/2 = 0 

2x^2 = k

in fk(x) = x⁴ - kx² , k einsetzen

g(x) = x^4 - 2x^2*x^2 = - x^4. 

Da g(0) = 0 auch stimmt, ist g(x) = -x^4 die Ortslinie der Tiefpunkte der Funktionenschar. 

Kontrolle:

~plot~ x^4 - 2x^2; x^4 + 2x^2; x^4 - x^2; x^4 + x^2; -x^4~plot~