Eigenschaften ganzrationaler Funktionen. Tiefpunkte der Funktionenschar mit f^a(x) = x^2 - a?

Question

bei folgender Aufgabe komme ich nicht zurecht, daher versuche ich es mal hier 

Gegeben ist die Funktionenschar f^a mit f^a(x) = x^2 - a.

a) Bestimmen Sie die Koordinationen der Tiefpunkte der Graphen von f^a in Abhängigkeit von a.

b) Begründen Sie warum die Ortslinie der Tiefpunkte keine Funktion ist.

Comments

Tiefpunkte
T ( 0 | a )
dies ergibt eine senkrechte Gerade
( hier die y -Achse ) für die es keine
Funktionsgleichung gibt.

Answer 1

Erinnere dich an die Parabeln (8. / 9. Klasse) 

https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen#sp 

Gegeben ist die Funktionenschar f^a mit f^a(x) = x² - a.

Das ist eine Parabelschar. Schreibe sie explizit in Scheitelpunktform. f^a(x) = (x-0)² +(-a).

Nun kannst du die Scheitelpunktskoordinaten ablesen. S_(a)(0|-a). 

a) Bestimmen Sie die Koordinationen der Tiefpunkte der Graphen von f^a in Abhängigkeit von a.

Da vor dem x^2 kein Minus steht sind die Parabeln nach oben geöffnet und die Scheitelpunkte sind Tiefpunkte der Parabelschar. Also T_(a)(0|-a)

b) Begründen Sie warum die Ortslinie der Tiefpunkte keine Funktion von x ist.

Die Tiefpunkte liegen auf der y-Achse z.B. T_(-1)(0|1), T_(0)(0|0). Hier wird dem x=0 der y-Wert y=1 und der y-Wert 0 zugeordnet. Das ist bei Funktionen nicht erlaubt. Jedem Element des Definitionsbereichs muss genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet werden. (Vgl. Definition des Begriffs Funktion).

Überlege dir vielleicht noch, warum ich hier "von x" ergänzt habe. Man kann die Ortslinie der Tiefpunkte als Funktion von y schreiben. Ihre Gleichung:  x = 0 + 0y = 0 

Answer 2

Hi! 

Gehe mit dem Parameter a so um, wie mit einer Zahl.

Sprich leite nach x ab.

Also f(x) = 2x 

Somit Extrempunkt bei x=0.

Einsetzen in die 2. Ableitung zeigt, dass es sich um ein Minimum handelt.

Setze 0 in zum Schluss in die Ursprungsfunktion ein 

TP(0/a) 

Warum folgt jetzt daraus dass es keine Ortskurve gibt? Am besten mal zeichnen lassen für verschiedene a ;)