Wie viele Funktionen existieren, die folgende Gleichung erfüllen?

Question

Aufgabe:

Wie viele Funktionen \( y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: y \mapsto y(x) \) existieren, die folgende Gleichung erfüllen:

\( y(x) = 2 + \int_{0}^{x} \frac{t}{y(t)} dt \)

A) Keine

B) Gena eine

C) Genau zwei

D) Unendlich viele


\( y'(x) = \frac{x}{y(x)} \)

\( y(x) \cdot y'(x) - x = 0 \)

\( y(x) dy = x dx \)

\( \frac{1}{2} y(x)^2 = \frac{1}{2} x^2 + C \)

\( y(x)^2 = x^2 + 2C \)

\( y(x) = \sqrt{x^2 + 2C} \)

oder

\( y(x) = -\sqrt{x^2 + 2C} \)

Ich würde jetzt Schlussfolgern, dass es unendlich viele sind, aber die Lösung ist B). Wo liegt der Fehler? Damit es endlich viele Lösungen gibt, müssten wir das C ja irgendwie festlegen?

Answer 1

Hallo

du hast die Anfangsbedingung y(0)=2 vergessen.

lul

Comments

Was kann man sich unter so einer Funktion vorstellen?
Wo kommt sie vor? Was kann man damit beschreiben?

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Was kann man sich unter so einer Funktion vorstellen?

dies hier:

https://www.desmos.com/calculator/2mkucerzgh

wenn Du auf das Desmos-Symbol rechts unten im Bild klickst, kannst Du durch anklicken des blauen Kreises (ganz rechts) auswählen, was Du sehen möchtest. Dann sieht man, dass $$y_{1}\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+4} \quad \quad\text{und}\\y_{0}\left(x\right)=2+\int_{0}^{x}\frac{t}{y_{1}\left(t\right)}dt$$identisch sind.

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Interessant. Danke! :)

Hast du noch ein praktisches Anwendungsproblem?

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Könntest du mir erklären, wie du Bedingung gesehen hast?

Hinzu stelle ich mir die Frage, dass man diese Bedingung ja dann hoch zwei nimmt also y²(0) = 4, dann haben wir

y²(x) = x²+4

aber wenn wir hier dann wieder die Wurzel ziehen, wieso ist es dann nicht +- (Ausgangsbedingung wird im Fall - nicht erfüllt, deswegen keine Lösung)?

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Könntest du mir erklären, wie du Bedingung gesehen hast?

Die gesuchte(n) Funktion(en) lautet:$$y(x) = 2 + \int\limits_{0}^{x} \frac{t}{y(t)} \,\text{d}t $$setze für \(x=0\) ein:$$y(0) = 2 + \underbrace{\int\limits_{0}^{0} \frac{t}{y(t)} \,\text{d}t}_{=0} = 2$$

... aber wenn wir hier dann wieder die Wurzel ziehen, wieso ist es dann nicht +-
(Ausgangsbedingung wird im Fall - nicht erfüllt, deswegen keine Lösung)?

ja genau - \(y(0)=2\) geht nicht mit \(y(x)= -\sqrt{\text{egal was}} \ne +2 \space\forall x \in\mathbb{R}\)

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Super, danke!