Hochpunkt und Tiefpunkt-Berechnung: f(x) = -x^3+3x

Question

Vielen Dank schonmal Voraus.

Wir haben als Thema Kurvendiskussion Extremalproblem und ich war im krankenhaus und habe nichts mit bekommen und ich komme bei einer aufgabe nicht mehr weiter.

Die Aufgabe:

Das abgebildete Landschaftsprofil wird durch die Randfunktion f(x)= -x^3+3x beschrieben.

a) Wie weit ist es vom Westufer des Flusses bis zum östlichen Hügelfuß

b) Wo liegt die tiefste Stelle des Flusses, wo liegt der Gipfel des Berges ?

Answer 1

Morgen Cytage

 

a) Wie weit ist es vom Westufer des Flusses bis zum östlichen Hügelfuß

Mathematisch ist hier nichts anderes gefragt als die linke und rechte Nullstelle und deren Abstand zueinander.

Nullstellenberechnung:

f(x) = -x^3+3x = 0

x(-x^2+3) = 0

x₁ = 0 oder -x^2+3 = 0

x^2 = 3

x_2,3 = ±√3

 

Die Nullstellen welche von Belang sind, sind bei -√3 und √3. Der Abstand vom Westufer zum Ostfuß sind also 2√3 Einheiten.

 

b) Wo liegt die tiefste Stelle des Flusses, wo liegt der Gipfel des Berges ?

Die mathematische Übersetzung:

"Bestimme die Extrema".

Das wird über die Ableitung gemacht.

Wir haben ein Minimum, wenn f'(x) = 0 und f''(x)>0

Ein Maximum, wenn f'(x) = 0 und f''(x)<0

 

f(x) = -x^3+3x

f'(x) = -3x^2+3

f''(x) = -6x

f'(x) = 0 = -3x^2+3

3x^2 = 3

x^2 = 1

x_4,5 = ±1

 

Die Extrema liegen also an den Stellen x = -1 und x = 1. Welche das Maximum und Minimum ist über die zweite Ableitung:

f''(-1) = 6   -> Minimum

f''(1) = -6  -> Maximum

 

Welche "Punkte" das sind, findet man, wenn man die Stellen in f(x) einsetzt:

f(-1) = -2

f(1) = 2

 

Also T(-1|-2) und H(1|2)

 

Grüße